Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Uma função pode ter duas assíntotas horizontais distintas.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, e pede justificativa:
Uma função pode ter duas assíntotas horizontais distintas.
Informações/dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Precisamos decidir verdadeiro ou falso.
  • Se for verdadeira, devemos explicar por quê (mostrar como acontece).
  • Se for falsa, devemos justificar ou dar um contraexemplo.

Passo 2

Vamos entender precisamente o que significa “assíntota horizontal” — isso é essencial para responder certinho na prova.
Definição (explicada devagarinho): dizemos que a reta horizontal y=L é uma assíntota horizontal de f por direita (no infinito positivo) se
\lim_{x\to\infty} f(x)=L.
Dizemos que y=M é uma assíntota horizontal de f por esquerda (no infinito negativo) se
\lim_{x\to-\infty} f(x)=M.
Ou seja: uma assíntota horizontal é simplesmente um valor limite que f(x) aproxima quando x vai para +\infty ou para -\infty. Note que os dois limites são independentes: o limite quando x\to\infty não determina necessariamente o limite quando x\to-\infty.
Dica prática para a prova: sempre que perguntarem sobre assíntota horizontal, calcule os dois limites laterais nos infinitos, \lim_{x\to\infty} f(x) e \lim_{x\to-\infty} f(x). Cada limite que existir e for finito corresponde a uma assíntota horizontal (tal valor de y).

Passo 3

Observação útil: pelo que acabamos de definir, uma função pode ter no máximo duas assíntotas horizontais distintas — uma associada a +\infty e outra associada a -\infty. Não existem “três” assíntotas horizontais porque só há dois lados infinitos para x.

Passo 4

Agora vou dar um exemplo concreto e calcular os limites passo a passo para mostrar que é possível ter duas assíntotas horizontais distintas.
Escolho a função
f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Queremos calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) e \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x).
Primeiro, manipulação algébrica que facilita o limite: escrevemos o denominador extraindo |x|,
\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{x}{|x|\sqrt{1+1/x^{2}}}.
Esse passo é só dividir numerador e denominador por |x|. Agora tratamos os dois lados:
  • Para x\to\infty temos |x|=x, então
\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x^{2}}}\xrightarrow[x\to\infty]{}1,
pois 1/x^{2}\to0 quando x\to\infty.
  • Para x\to-\infty temos |x|=-x, então
\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{x}{-x\sqrt{1+1/x^{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{1+1/x^{2}}}\xrightarrow[x\to-\infty]{}-1.
Portanto
\lim_{x\to\infty} f(x)=1\quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty} f(x)=-1.
Isto mostra que y=1 é uma assíntota horizontal por direita e y=-1 é uma assíntota horizontal por esquerda: são duas assíntotas horizontais distintas.
Comentário extra (outro exemplo clássico): a função f(x)=\arctan x também tem limites diferentes nos infinitos, \lim_{x\to\infty}\arctan x=\pi/2 e \lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\pi/2, fornecendo outro exemplo intuitivo.

Passo 5

Conclusão didática: como a definição de assíntota horizontal depende dos limites em +\infty e em -\infty separadamente, é perfeitamente possível (e comum) que esses dois limites existam e sejam distintos. Logo, a afirmação do enunciado é verdadeira. No exame, a estratégia direta é calcular \lim_{x\to\infty} f(x) e \lim_{x\to-\infty} f(x); se ambos existirem e forem finitos, cada um dá uma assíntota horizontal — e podem ser diferentes.
Força aí — você já aprendeu a ligar essa lâmpada na prova: “calcula os limites nos dois infinitos e pronto!”

Resposta

Verdadeira.

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