Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se f for contínua em 5 e f(5)=2 e f(4)=3, então \lim _{x \rightarrow 2} f\left(4 x^{2}-11\right)=2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: f é contínua em 5, f(5)=2 e f(4)=3. A pergunta é decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
\lim_{x\rightarrow 2} f\bigl(4x^{2}-11\bigr)=2.
Listei as informações relevantes: f contínua em 5; valor de f em 5 é 2; valor de f em 4 é 3. O objetivo é determinar o valor do limite pedido e justificar.

Passo 2

Calcular o limite da expressão interna \,4x^{2}-11, quando x\to 2. Polinômios são funções que aceitam substituição direta no limite, então apenas faço a substituição:
\lim_{x\to 2} \bigl(4x^{2}-11\bigr)=4\cdot 2^{2}-11=4\cdot 4-11=16-11=5.
Portanto o argumento de f tende para 5 quando x\to 2.

Passo 3

Vou lembrar de forma bem direta o que significa continuidade em um ponto, porque isso é o que vamos usar: f é contínua em 5 significa que
\lim_{y\to 5} f(y)=f(5).
Em linguagem mais formal (epsilon-delta): para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |y-5|<\delta, então |f(y)-f(5)|<\varepsilon. Intuitivamente: valores de y próximos de 5 dão valores de f(y) próximos de f(5).

Passo 4

Usamos agora o fato padrão sobre composição de limites: se \lim_{x\to a} g(x)=c e f é contínua em c, então
\lim_{x\to a} f\bigl(g(x)\bigr)=f\text{(c)}.
Vou esboçar a ideia da prova (é simples e rigorosa): seja \varepsilon>0. Como f é contínua em 5 (aqui c=5), existe \delta_{1}>0 tal que, sempre que |y-5|<\delta_{1}, temos |f(y)-f(5)|<\varepsilon. Como \lim_{x\to 2} (4x^{2}-11)=5, existe \delta_{2}>0 tal que, se |x-2|<\delta_{2}, então |(4x^{2}-11)-5|<\delta_{1}. Compondo: para |x-2|<\delta_{2} obtemos |f(4x^{2}-11)-f(5)|<\varepsilon. Isso mostra que \lim_{x\to 2} f(4x^{2}-11)=f(5).

Passo 5

Aplicando o resultado do passo anterior ao caso concreto: como já calculamos \lim_{x\to 2} (4x^{2}-11)=5 e f é contínua em 5 com f(5)=2, segue que
\lim_{x\to 2} f\bigl(4x^{2}-11\bigr)=f(5)=2.
Observação: o valor dado f(4)=3 é irrelevante para este limite — é uma informação que não interfere, ou seja, um “red herring”.

Resposta

Verdadeira — \lim_{x\rightarrow 2} f(4x^{2}-11)=2.

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