Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se
for contínua em 5 e
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
é contínua em
,
e
. A pergunta é decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Listei as informações relevantes:
contínua em
; valor de
em
é
; valor de
em
é
. O objetivo é determinar o valor do limite pedido e justificar.
Passo 2
Calcular o limite da expressão interna
, quando
. Polinômios são funções que aceitam substituição direta no limite, então apenas faço a substituição:
Portanto o argumento de
tende para
quando
.
Passo 3
Vou lembrar de forma bem direta o que significa continuidade em um ponto, porque isso é o que vamos usar:
é contínua em
significa que
Em linguagem mais formal (epsilon-delta): para todo
existe
tal que, se
, então
. Intuitivamente: valores de
próximos de
dão valores de
próximos de
.
Passo 4
Usamos agora o fato padrão sobre composição de limites: se
e
é contínua em
, então
Vou esboçar a ideia da prova (é simples e rigorosa): seja
. Como
é contínua em
(aqui
), existe
tal que, sempre que
, temos
. Como
, existe
tal que, se
, então
. Compondo: para
obtemos
. Isso mostra que
.
Passo 5
Aplicando o resultado do passo anterior ao caso concreto: como já calculamos
e
é contínua em
com
, segue que
Observação: o valor dado
é irrelevante para este limite — é uma informação que não interfere, ou seja, um “red herring”.
Resposta
Verdadeira —
.