Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
for contínua em
e
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dado
contínua em . - Sabemos que
para todo . - A afirmação a ser verificada é:
- Pergunta: essa igualdade é verdadeira para toda função
com as hipóteses dadas? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um contraexemplo.
Passo 2
Estratégia prática: uma maneira direta de verificar se uma igualdade desse tipo é verdadeira em geral é tentar um contraexemplo simples — escolher uma função contínua não-negativa e um intervalo e calcular os dois lados. Se os lados não forem iguais para esse exemplo, a afirmação é falsa em geral.
Vou escolher um exemplo bem simples e contínuo:
no intervalo
. Verifico primeiro que
satisfaz as hipóteses:
é contínua e
em todo
.
Passo 3
Calculo o lado esquerdo,
.
Aqui . Então
Aqui
Calculo esse integral por partes simétricas:
Agora calculo cada termo:
Somando,
Passo 4
Calculo o lado direito,
.
Primeiro . Como
é par,
Primeiro
Portanto
Passo 5
Comparando os resultados do Passo 3 e do Passo 4:
Como
, a igualdade dada no enunciado falha para este exemplo. Logo a afirmação é falsa em geral.
Passo 6
Explicação teórica curta (para entender por que isso geralmente não vale): a função
é não-linear (é côncava em
), então em geral
não se simplifica para
. De fato, aplicando a desigualdade de Cauchy–Schwarz às funções
e
obtemos
Isso mostra que
é, em geral, menor ou igual a
, não simplesmente igual a
. Além disso, analisando a igualdade na Cauchy–Schwarz, ela só ocorre quando
é proporcional à função constante
, isto é, quando
é constante. Tomando
e comprimento do intervalo
obtemos
Para que
é necessário que
(caso trivial) ou
. Assim a igualdade do enunciado só pode ocorrer em casos especiais (por exemplo
ou
constante e
), e não vale para qualquer
contínua não-negativa.
Resposta
Falsa