Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f for contínua em [a, b] e f(x) \geqslant 0, então
\int_{a}^{b} \sqrt{f(x)} d x=\sqrt{\int_{a}^{b} f(x) d x}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado f contínua em [a,b].
  • Sabemos que f(x)\ge 0 para todo x\in[a,b].
  • A afirmação a ser verificada é:
\int_{a}^{b} \sqrt{f(x)}\,dx=\sqrt{\int_{a}^{b} f(x)\,dx}.
  • Pergunta: essa igualdade é verdadeira para toda função f com as hipóteses dadas? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um contraexemplo.

Passo 2

Estratégia prática: uma maneira direta de verificar se uma igualdade desse tipo é verdadeira em geral é tentar um contraexemplo simples — escolher uma função contínua não-negativa e um intervalo e calcular os dois lados. Se os lados não forem iguais para esse exemplo, a afirmação é falsa em geral.
Vou escolher um exemplo bem simples e contínuo: f(x)=x^{2} no intervalo [a,b]=[-1,1]. Verifico primeiro que f satisfaz as hipóteses: f é contínua e f(x)=x^{2}\ge 0 em todo [-1,1].

Passo 3

Calculo o lado esquerdo, \displaystyle \int_{-1}^{1}\sqrt{f(x)}\,dx.
Aqui \sqrt{f(x)}=\sqrt{x^{2}}=|x|. Então
\int_{-1}^{1}\sqrt{f(x)}\,dx=\int_{-1}^{1}|x|\,dx.
Calculo esse integral por partes simétricas:
\int_{-1}^{1}|x|\,dx=\int_{-1}^{0}(-x)\,dx+\int_{0}^{1}x\,dx.
Agora calculo cada termo:
\int_{-1}^{0}(-x)\,dx=\left[-\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0}=0-\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2},
\int_{0}^{1}x\,dx=\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
Somando,
\int_{-1}^{1}\sqrt{f(x)}\,dx=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.

Passo 4

Calculo o lado direito, \displaystyle \sqrt{\int_{-1}^{1} f(x)\,dx}.
Primeiro \int_{-1}^{1} f(x)\,dx=\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx. Como x^{2} é par,
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx=2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx=2\left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=2\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Portanto
\sqrt{\int_{-1}^{1} f(x)\,dx}=\sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx 0,8165.

Passo 5

Comparando os resultados do Passo 3 e do Passo 4:
\int_{-1}^{1}\sqrt{f(x)}\,dx=1\quad\text{e}\quad \sqrt{\int_{-1}^{1} f(x)\,dx}=\sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx 0,8165.
Como 1\neq \sqrt{\tfrac{2}{3}}, a igualdade dada no enunciado falha para este exemplo. Logo a afirmação é falsa em geral.

Passo 6

Explicação teórica curta (para entender por que isso geralmente não vale): a função t\mapsto\sqrt{t} é não-linear (é côncava em [0,\infty)), então em geral \int \sqrt{f} não se simplifica para \sqrt{\int f}. De fato, aplicando a desigualdade de Cauchy–Schwarz às funções g=\sqrt{f} e h\equiv 1 obtemos
\left(\int_{a}^{b}\sqrt{f(x)}\,dx\right)^{2}\le \left(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right)\left(\int_{a}^{b}1^{2}\,dx\right)=(b-a)\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Isso mostra que \int_{a}^{b}\sqrt{f} é, em geral, menor ou igual a \sqrt{(b-a)\displaystyle\int_{a}^{b} f}, não simplesmente igual a \sqrt{\displaystyle\int_{a}^{b} f}. Além disso, analisando a igualdade na Cauchy–Schwarz, ela só ocorre quando \sqrt{f} é proporcional à função constante 1, isto é, quando f é constante. Tomando f\equiv c\ge 0 e comprimento do intervalo L=b-a obtemos
\int_{a}^{b}\sqrt{f}=L\sqrt{c},\qquad \sqrt{\int_{a}^{b}f}=\sqrt{Lc}.
Para que L\sqrt{c}=\sqrt{Lc} é necessário que c=0 (caso trivial) ou L=1. Assim a igualdade do enunciado só pode ocorrer em casos especiais (por exemplo f\equiv 0 ou f constante e b-a=1), e não vale para qualquer f contínua não-negativa.

Resposta

Falsa

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