Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Informações dadas (explicitamente da própria expressão):
- A função que aparece no limite é a razão entre os polinômios
e . - O ponto onde o limite é calculado é
.
O que é pedido: dizer se a igualdade entre o limite do quociente e o quociente dos limites é correta; se for correta justificar, se for falsa explicar por que ou fornecer um exemplo que mostre a falsidade.
Passo 2
Lembrete importante sobre limites (regra que frequentemente usamos):
Sejam e
funções tais que
e
existam. Então vale
Sejam
desde que o denominador do lado direito seja diferente de zero, ou seja, desde que
Se
, não se pode aplicar essa regra diretamente (o quociente dos limites é
, que é indeterminado), e é preciso analisar o limite do quociente por outros meios.
Passo 3
Calcular os limites separados no lado direito da igualdade proposta:
Avaliar e
simplesmente substituindo
(polinômios são contínuos):
Avaliar
Portanto o quociente dos limites do lado direito seria
, que é uma forma indeterminada (não é um número bem definido). Logo a hipótese necessária da regra citada no Passo 2 (denominador com limite diferente de zero) não se satisfaz aqui.
Passo 4
Conclusão parcial: não é permitido, pela regra, afirmar que
pois
é indeterminado. Assim a igualdade dada no enunciado é, à primeira vista, suspeita de ser falsa — precisamos verificar o valor do limite do lado esquerdo por outro método e comparar.
Passo 5
Calcular o limite do lado esquerdo diretamente, simplificando a expressão algébrica quando possível. Primeiro fatorar os polinômios (mostrar como fatorar um quadrático: encontrar raízes):
Para , procurar raízes da equação
. O discriminante é
; as raízes são
Para
Isso dá as raízes
e
. Portanto
Para
, o discriminante é
; as raízes são
isto é,
e
. Portanto
Passo 6
Para
podemos cancelar o fator comum
:
O limite quando
da função original é o mesmo que o limite da função simplificada (porque a simplificação remove uma descontinuidade removível em
):
Agora,
é contínua em
, então basta substituir
:
Passo 7
Comparando os dois lados:
- O limite do quociente (lado esquerdo) é
. - O quociente dos limites (lado direito) seria
, que é indeterminado (não é igual a ).
Portanto a igualdade do enunciado é falsa. O exemplo concreto que mostra isso é exatamente a própria expressão dada: o limite existe e vale
, mas a tentativa de separar os limites dá
, o que não é permitido.
Resposta
Falsa