Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+6 x-7}{x^{2}+5 x-6}=\frac{\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+6 x-7\right)}{\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+5 x-6\right)}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6} = \frac{\lim_{x\to 1}\left(x^{2}+6x-7\right)}{\lim_{x\to 1}\left(x^{2}+5x-6\right)}.
Informações dadas (explicitamente da própria expressão):
  • A função que aparece no limite é a razão entre os polinômios x^{2}+6x-7 e x^{2}+5x-6.
  • O ponto onde o limite é calculado é x\to 1.
O que é pedido: dizer se a igualdade entre o limite do quociente e o quociente dos limites é correta; se for correta justificar, se for falsa explicar por que ou fornecer um exemplo que mostre a falsidade.

Passo 2

Lembrete importante sobre limites (regra que frequentemente usamos):
Sejam f(x) e g(x) funções tais que \lim_{x\to a}f(x) e \lim_{x\to a}g(x) existam. Então vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}
desde que o denominador do lado direito seja diferente de zero, ou seja, desde que
\lim_{x\to a}g(x)\neq 0.
Se \lim_{x\to a}g(x)=0, não se pode aplicar essa regra diretamente (o quociente dos limites é 0/0, que é indeterminado), e é preciso analisar o limite do quociente por outros meios.

Passo 3

Calcular os limites separados no lado direito da igualdade proposta:
Avaliar \lim_{x\to 1}\left(x^{2}+6x-7\right) e \lim_{x\to 1}\left(x^{2}+5x-6\right) simplesmente substituindo x=1 (polinômios são contínuos):
\lim_{x\to 1}\left(x^{2}+6x-7\right)=1^{2}+6\cdot1-7=1+6-7=0,
\lim_{x\to 1}\left(x^{2}+5x-6\right)=1^{2}+5\cdot1-6=1+5-6=0.
Portanto o quociente dos limites do lado direito seria 0/0, que é uma forma indeterminada (não é um número bem definido). Logo a hipótese necessária da regra citada no Passo 2 (denominador com limite diferente de zero) não se satisfaz aqui.

Passo 4

Conclusão parcial: não é permitido, pela regra, afirmar que
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6} = \frac{0}{0},
pois \dfrac{0}{0} é indeterminado. Assim a igualdade dada no enunciado é, à primeira vista, suspeita de ser falsa — precisamos verificar o valor do limite do lado esquerdo por outro método e comparar.

Passo 5

Calcular o limite do lado esquerdo diretamente, simplificando a expressão algébrica quando possível. Primeiro fatorar os polinômios (mostrar como fatorar um quadrático: encontrar raízes):
Para x^{2}+6x-7, procurar raízes da equação x^{2}+6x-7=0. O discriminante é \Delta=6^{2}-4\cdot1\cdot(-7)=36+28=64; as raízes são
x=\frac{-6\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-6\pm 8}{2}.
Isso dá as raízes x=1 e x=-7. Portanto
x^{2}+6x-7=(x-1)(x+7).
Para x^{2}+5x-6, o discriminante é \Delta=5^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49; as raízes são
x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-5\pm 7}{2},
isto é, x=1 e x=-6. Portanto
x^{2}+5x-6=(x-1)(x+6).

Passo 6

Para x\neq 1 podemos cancelar o fator comum (x-1):
\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6} = \frac{(x-1)(x+7)}{(x-1)(x+6)} = \frac{x+7}{x+6}\qquad\text{para }x\neq 1.
O limite quando x\to 1 da função original é o mesmo que o limite da função simplificada (porque a simplificação remove uma descontinuidade removível em x=1):
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6} = \lim_{x\to 1}\frac{x+7}{x+6}.
Agora, \frac{x+7}{x+6} é contínua em x=1, então basta substituir x=1:
\lim_{x\to 1}\frac{x+7}{x+6}=\frac{1+7}{1+6}=\frac{8}{7}.

Passo 7

Comparando os dois lados:
  • O limite do quociente (lado esquerdo) é \dfrac{8}{7}.
  • O quociente dos limites (lado direito) seria \dfrac{0}{0}, que é indeterminado (não é igual a \dfrac{8}{7}).
Portanto a igualdade do enunciado é falsa. O exemplo concreto que mostra isso é exatamente a própria expressão dada: o limite existe e vale \dfrac{8}{7}, mas a tentativa de separar os limites dá \dfrac{0}{0}, o que não é permitido.

Resposta

Falsa

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