Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Uma função pode ter duas assíntotas horizontais distintas.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a afirmação “Uma função pode ter duas assíntotas horizontais distintas” é verdadeira ou falsa. Não há outros dados numéricos — apenas a afirmação a ser avaliada.
Informações relevantes que temos (explicitadas):
  • A afirmação fala de “assíntotas horizontais” (linhas do tipo \,y=L\,).
  • Não há restrição extra (por exemplo, continuidade, comportamento oscilatório, etc.) no enunciado.

Passo 2

Definição clara (essencial para a prova): o que é “assíntota horizontal”?
  • Dizemos que a reta \,y=L é uma assíntota horizontal de f para x\to\infty se
\lim_{x\to\infty} f(x)=L.
  • Dizemos que a reta \,y=M é uma assíntota horizontal de f para x\to -\infty se
\lim_{x\to -\infty} f(x)=M.
Observação didática: a definição usa limites nas extremidades do domínio real. Note que a definição trata separadamente o comportamento quando x\to\infty e quando x\to -\infty: cada direção pode ter seu próprio limite.

Passo 3

Consequência lógica da definição: como os limites para x\to\infty e para x\to -\infty são independentes, é perfeitamente possível que
\lim_{x\to\infty} f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x)=L_2
com L_1\neq L_2. Nesse caso a função tem duas assíntotas horizontais distintas, \,y=L_1 e \,y=L_2.
Explicação informal que ajuda na prova: pense que a “cauda direita” do gráfico pode aproximar uma linha horizontal diferente da “cauda esquerda”. Não há regra que obrigue ambos os limites a coincidir.

Passo 4

Observação adicional (útil para a prova): no máximo quantas assíntotas horizontais distintas uma função real pode ter?
Resposta: no máximo duas. Justificativa simples: só há duas direções horizontais a considerar ( x\to\infty e x\to -\infty), e cada uma fornece, no máximo, um valor-limite único. Assim não é possível ter três ou mais assíntotas horizontais distintas definidas por limites nas extremidades.

Passo 5

Exemplo concreto e calculado (mostra que a afirmação é verdadeira):
Considere [f(x)=\arctan x).
Conhecimento padrão (pode ser usado na prova como limite conhecido) ou justificação rápida: \arctan x é a inversa da função \tan restrita a \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right); conforme x\to\infty o ângulo cujo tangente é x aproxima \tfrac{\pi}{2}, e conforme x\to -\infty aproxima -\tfrac{\pi}{2}. Assim
\lim_{x\to\infty}\arctan x=\tfrac{\pi}{2}, \qquad \lim_{x\to -\infty}\arctan x=-\tfrac{\pi}{2}.
Portanto f tem duas assíntotas horizontais distintas: \,y=\tfrac{\pi}{2} (para +\infty) e \,y=-\tfrac{\pi}{2} (para -\infty).
Se quiser um exemplo ainda mais simples para a prova, pode usar a função
g(x)=\begin{cases} 1, & x\ge 0,\\[4pt] -1, & x<0, \end{cases}
que tem \lim_{x\to\infty}g(x)=1\] e \(\lim_{x\to -\infty}g(x)=-1, logo assíntotas horizontais \,y=1 e \,y=-1. (Esse exemplo é trivial e mostra bem o ponto.)]

Passo 6

Resumo prático para a prova (como raciocinar rápido):
  • Para verificar se uma função tem duas assíntotas horizontais distintas, calcule \lim_{x\to\infty} f(x) e \lim_{x\to -\infty} f(x).
  • Se ambos existirem e forem finitos e diferentes, então a função tem duas assíntotas horizontais distintas.
  • Lembre-se: no máximo duas assíntotas horizontais (uma por direção).
Bom trabalho — respira, faz devagar na prova: calcule os dois limites separadamente e compare.

Resposta

Verdadeira — por exemplo, f(x)=\arctan x tem assíntotas horizontais y=\tfrac{\pi}{2} e y=-\tfrac{\pi}{2}.

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