Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Uma função pode ter duas assíntotas horizontais distintas.
Uma função pode ter duas assíntotas horizontais distintas.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a afirmação “Uma função pode ter duas assíntotas horizontais distintas” é verdadeira ou falsa. Não há outros dados numéricos — apenas a afirmação a ser avaliada.
Informações relevantes que temos (explicitadas):
- A afirmação fala de “assíntotas horizontais” (linhas do tipo
). - Não há restrição extra (por exemplo, continuidade, comportamento oscilatório, etc.) no enunciado.
Passo 2
Definição clara (essencial para a prova): o que é “assíntota horizontal”?
- Dizemos que a reta
é uma assíntota horizontal de para se
- Dizemos que a reta
é uma assíntota horizontal de para se
Observação didática: a definição usa limites nas extremidades do domínio real. Note que a definição trata separadamente o comportamento quando
e quando
: cada direção pode ter seu próprio limite.
Passo 3
Consequência lógica da definição: como os limites para
e para
são independentes, é perfeitamente possível que
com
. Nesse caso a função tem duas assíntotas horizontais distintas,
e
.
Explicação informal que ajuda na prova: pense que a “cauda direita” do gráfico pode aproximar uma linha horizontal diferente da “cauda esquerda”. Não há regra que obrigue ambos os limites a coincidir.
Passo 4
Observação adicional (útil para a prova): no máximo quantas assíntotas horizontais distintas uma função real pode ter?
Resposta: no máximo duas. Justificativa simples: só há duas direções horizontais a considerar (
e
), e cada uma fornece, no máximo, um valor-limite único. Assim não é possível ter três ou mais assíntotas horizontais distintas definidas por limites nas extremidades.
Passo 5
Exemplo concreto e calculado (mostra que a afirmação é verdadeira):
Considere [f(x)=\arctan x).
Conhecimento padrão (pode ser usado na prova como limite conhecido) ou justificação rápida:
é a inversa da função
restrita a
; conforme
o ângulo cujo tangente é
aproxima
, e conforme
aproxima
. Assim
Portanto
tem duas assíntotas horizontais distintas:
(para
) e
(para
).
Se quiser um exemplo ainda mais simples para a prova, pode usar a função
que tem
, logo assíntotas horizontais
e
. (Esse exemplo é trivial e mostra bem o ponto.)]
Passo 6
Resumo prático para a prova (como raciocinar rápido):
- Para verificar se uma função tem duas assíntotas horizontais distintas, calcule
e . - Se ambos existirem e forem finitos e diferentes, então a função tem duas assíntotas horizontais distintas.
- Lembre-se: no máximo duas assíntotas horizontais (uma por direção).
Bom trabalho — respira, faz devagar na prova: calcule os dois limites separadamente e compare.
Resposta
Verdadeira — por exemplo,
tem assíntotas horizontais
e
.