Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3}, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. A afirmação é:
Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3}, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}.
Informações dadas:
  • Tem-se dois vetores arbitrários \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3} (o espaço vetorial de dimensão 3).
  • A operação envolvida é o produto escalar (dot product) entre esses vetores.
    O objetivo é determinar a veracidade da afirmação e justificar por que ela é verdadeira ou, se falsa, apresentar um contraexemplo.

Passo 2

Definição concreta do produto escalar em V_{3} (forma componente): escreva os vetores pelas suas componentes
\mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}),\qquad \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}).
Pelo que se usa normalmente em V_{3}, o produto escalar é definido por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
Explicando com calma: cada u_{i} e v_{i} é um número real (a i-ésima coordenada dos vetores). O produto escalar soma os produtos das coordenadas correspondentes e o resultado é um número real (um escalar).

Passo 3

Propriedade básica dos números reais que vamos usar: a multiplicação em \mathbb{R} é comutativa. Ou seja, para quaisquer reais a e b vale
ab=ba.
Aplicando isso às componentes dos vetores, para cada i=1,2,3 tem-se
u_{i}v_{i}=v_{i}u_{i}.

Passo 4

Agora substituímos essa igualdade na soma que define o produto escalar. Começando por \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
Usando u_{i}v_{i}=v_{i}u_{i} em cada termo obtemos
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}.
Mas o lado direito é exatamente a definição de \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}, isto é
\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}=v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}.
Portanto chegamos à igualdade desejada:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}.

Passo 5

Comentário extra (útil na prova): a argumentação acima usa a definição componente a componente. Alternativamente, em termos mais abstratos, o produto escalar é um caso particular de produto interno em um espaço real e um dos axiomas de produto interno é a simetria:
\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \langle \mathbf{v},\mathbf{u}\rangle.
Assim, a comutatividade do produto escalar em espaços reais é uma propriedade axiomática além de derivar do fato de que a multiplicação escalar real é comutativa.

Passo 6

Pequeno exemplo numérico para fixar a intuição: tome \mathbf{u}=(1,2,3) e \mathbf{v}=(4,-1,0). Então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot4+2\cdot(-1)+3\cdot0=4-2+0=2
e
\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}=4\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot3=4-2+0=2.
Os dois resultados coincidem, ilustrando a igualdade.

Resposta

Verdadeira.

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