Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores
e
em
.
Para quaisquer vetores
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. A afirmação é:
Para quaisquer vetores
e
em
,
.
Informações dadas:
- Tem-se dois vetores arbitrários
e em (o espaço vetorial de dimensão 3). - A operação envolvida é o produto escalar (dot product) entre esses vetores.
O objetivo é determinar a veracidade da afirmação e justificar por que ela é verdadeira ou, se falsa, apresentar um contraexemplo.
Passo 2
Definição concreta do produto escalar em
(forma componente): escreva os vetores pelas suas componentes
Pelo que se usa normalmente em
, o produto escalar é definido por
Explicando com calma: cada
e
é um número real (a
-ésima coordenada dos vetores). O produto escalar soma os produtos das coordenadas correspondentes e o resultado é um número real (um escalar).
Passo 3
Propriedade básica dos números reais que vamos usar: a multiplicação em
é comutativa. Ou seja, para quaisquer reais
e
vale
Aplicando isso às componentes dos vetores, para cada
tem-se
Passo 4
Agora substituímos essa igualdade na soma que define o produto escalar. Começando por
:
Usando
em cada termo obtemos
Mas o lado direito é exatamente a definição de
, isto é
Portanto chegamos à igualdade desejada:
Passo 5
Comentário extra (útil na prova): a argumentação acima usa a definição componente a componente. Alternativamente, em termos mais abstratos, o produto escalar é um caso particular de produto interno em um espaço real e um dos axiomas de produto interno é a simetria:
Assim, a comutatividade do produto escalar em espaços reais é uma propriedade axiomática além de derivar do fato de que a multiplicação escalar real é comutativa.
Passo 6
Pequeno exemplo numérico para fixar a intuição: tome
e
. Então
e
Os dois resultados coincidem, ilustrando a igualdade.
Resposta
Verdadeira.