Determine se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa.
Não existe nenhuma função f: R R que seja descontínua em todos os pontos de seu domínio.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe alguma função f:RtoR que seja descontínua em todo ponto de R. O conteúdo envolve definição de continuidade e exemplos de funções patológicas em análise real.

Passo 2

Mostramos que tal função existe, construindo a clássica função de Dirichlet, definida por
f(x)= 1,&xinQ, 0,&xnotinQ

Passo 3

Para ver que f é descontínua em um ponto arbitrário x0inR, note que em qualquer vizinhança de x0 há sucessões de racionais e de irracionais. Para os racionais, f toma valor 1, e para os irracionais, f toma valor 0. Logo, o limite
limxto x0f(x) não existe, pois não há um único valor ao qual f(x) se aproxima.

Passo 4

Concluímos então que a função de Dirichlet é descontínua em todo ponto de R. Isso contradiz a afirmação de que “não existe nenhuma função” com essa propriedade.

Resposta

A afirmação é falsa.

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