Determine se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa.
Não existe nenhuma função que seja descontínua em todos os pontos de seu domínio.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe alguma função que seja descontínua em todo ponto de . O conteúdo envolve definição de continuidade e exemplos de funções patológicas em análise real.
Passo 2
Mostramos que tal função existe, construindo a clássica função de Dirichlet, definida por
Passo 3
Para ver que f é descontínua em um ponto arbitrário x0inR, note que em qualquer vizinhança de x0 há sucessões de racionais e de irracionais. Para os racionais, f toma valor 1, e para os irracionais, f toma valor 0. Logo, o limite limxto x0f(x) não existe, pois não há um único valor ao qual f(x) se aproxima.
Passo 4
Concluímos então que a função de Dirichlet é descontínua em todo ponto de R. Isso contradiz a afirmação de que “não existe nenhuma função” com essa propriedade.