Resolva as seguintes questões envolvendo limites:
lim x +infty(x+4x-1)^2 x+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(x+4x-1r)^2x+5
Esse limite é um caso de forma indeterminada 1^infty, e vamos usar a técnica de escrever a expressão como exp de um produto envolvendo ln.

Passo 2

Definimos
L = limxto+inftyl(x+4x-1r)^2x+5
e tomamos o logaritmo natural:
ln L = limxto+infty(2x+5),lnl(x+4x-1r)

Passo 3

Reescrevemos o argumento do logaritmo de forma a usar expansões para xtoinfty:
lnl(x+4x-1r) =lnl(1+tfrac4xr);-;lnl(1-tfrac1xr)

Passo 4

Fazemos a expansão em série de Taylor até ordem 1/x^2:
lnl(1+tfrac4xr)=tfrac4x-tfrac8x^2+O(x^-3), lnl(1-tfrac1xr)=-tfrac1x-tfrac12x^2+O(x^-3)
Subtraindo,
lnl(tfracx+4x-1r) =5x-152,x^2+O(x^-3)

Passo 5

Multiplicamos pela parte externa (2x+5) e calculamos o limite do produto:
(2x+5)l(tfrac5x-tfrac152x^2+O(x^-3)r) =10+10x+O(x^-1) ;xrightarrow[xtoinfty];10
Logo ln L=10, e L=exp(10).

Resposta

e^10

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