Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. No caso de a afirmação ser falsa, dê um exemplo para justificar (o que chamamos em Matemática de “contraexemplo”)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale, para todo x,yinR, a igualdade
raiz[6]x^6cdot y ;=;raizxcdot y
O conteúdo aqui é manipulação de radicais de índice par e a atenção ao valor principal da raiz (sempre não-negativo), além das condições de existência (radicando não-negativo).

Passo 2

Para entender, note que, quando existe em R,
raiz[6]x^6,y = (x^6,y)^1/6 = (x^6)^1/6;y^1/6 = |x|;y^1/6,
enquanto
raizx,y = (x,y)^1/2
Portanto a igualdade implicaria
|x|;y^1/6 = (x,y)^1/2,
sempre que x^6y>=0 e xy>=0. Mas isso não ocorre em geral.

Passo 3

Basta um contra-exemplo. Tome x=4 e y=1. Então
raiz[6]4^6cdot1 = raiz[6]4096 = 4,
porém
raiz4cdot1 = 2,
e 4neq2.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é x=4, y=1, pois
raiz[6]4^6cdot1=4 mas raiz4cdot1=2.

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