Determine o fluxo de
através de
, na orientação dada:
com orientação
tal que
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
definida por
, no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede quanta “força” do campo atravessa
. Matemáticamente, é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície
e
é o elemento de área.
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície
. Como
, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, onde
,
e
, com
e
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal
à superfície
. Para isso, vamos determinar os vetores tangentes e depois o produto vetorial entre eles.
A parametrização da superfície é
.
Os vetores tangentes são:
O vetor normal é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Como queremos que
, devemos escolher a orientação que aponta para baixo. Portanto, o vetor normal final é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
.
Primeiro, substituímos as coordenadas:
Então,
Passo 6
Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o fluxo:
Em coordenadas cilíndricas,
. Porém, como já parametrizamos e simplificamos, podemos integrar diretamente:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Primeiro, a integral interna em
:
Agora, a integral externa em
:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.