Determine o fluxo de F através de S, na orientação dada:
F=x i+y j+z^4 k S: z=raizx^2+y^2, 0 <= z <= 1 com orientação n tal que n cdot k<0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o fluxo do campo vetorial F = x i + y j + z^4 k através da superfície S definida por z = raizx^2 + y^2, no intervalo 0 <= z <= 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S mede quanta “força” do campo atravessa S. Matemáticamente, é dado por:
Fluxo = integral duplaS F cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S e dS é o elemento de área.

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície S. Como z = raizx^2 + y^2, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, onde x = r costheta, y = r sintheta e z = r, com 0 <= r <= 1 e 0 <= theta < 2pi.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Para isso, vamos determinar os vetores tangentes e depois o produto vetorial entre eles.
A parametrização da superfície é r(r, theta) = r costheta i + r sintheta j + r k.
Os vetores tangentes são:
rr = partial rpartial r = costheta i + sintheta j + k
rtheta = partial rpartial theta = -r sintheta i + r costheta j
O vetor normal é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rr times rtheta = (-costheta i - sintheta j + r k)
Como queremos que n cdot k < 0, devemos escolher a orientação que aponta para baixo. Portanto, o vetor normal final é:
n = -costheta i - sintheta j + k

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n.
Primeiro, substituímos as coordenadas:
F = r costheta i + r sintheta j + r^4 k
Então,
F cdot n = (r costheta)(- costheta) + (r sintheta)(- sintheta) + (r^4)(1)
= -r cos^2theta - r sin^2theta + r^4
= -r (cos^2theta + sin^2theta) + r^4
= -r (1) + r^4
= -r + r^4

Passo 6

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o fluxo:
Fluxo = integral duplaS (-r + r^4) , dS
Em coordenadas cilíndricas, dS = |n| , dr , dtheta. Porém, como já parametrizamos e simplificamos, podemos integrar diretamente:
Fluxo = integral0^2pi integral0^1 (-r + r^4) cdot r , dr , dtheta
= integral0^2pi integral0^1 (-r^2 + r^5) , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Primeiro, a integral interna em r:
integral0^1 (-r^2 + r^5) , dr = [ -r^33 + r^66 ]0^1 = ( -13 + 16 ) - 0 = -16
Agora, a integral externa em theta:
Fluxo = integral0^2pi ( -16 ) dtheta = -16 cdot 2pi = -pi3

Resposta

O fluxo de F através de S é -dfracpi3.

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