Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, dê um contra-exemplo que mostre que é falsa.
(2,0) Seja E um espaço vetorial de dimensão igual a 5 então todo conjunto com cinco vetores em E é uma base de E.

Passo 1

O enunciado diz que E é um espaço vetorial de dimensão igual a 5 e afirma que “todo conjunto com cinco vetores em E é uma base de E”. Para decidir se isso é verdadeiro ou falso, vamos usar o conceito de base em espaços vetoriais: uma base precisa ser simultaneamente geradora e linearmente independente.

Passo 2

Definição de base: um conjunto Bsubset E é base de E se e somente se
  1. B é linearmente independente;
  2. B gera E, ou seja, lang<= Brang<= = E.
    Em um espaço de dimensão n, vale o teorema: “qualquer conjunto de n vetores que seja linearmente independente é base” e “qualquer conjunto de n vetores que gere o espaço é base”. Mas não vale que “todo conjunto de n vetores é base”—é preciso garantir alguma dessas propriedades.

Passo 3

Para refutar a afirmação, basta exibir um conjunto de 5 vetores em E que falhe em ser base, isto é, que seja linearmente dependente ou que não gere E. O modo mais simples é construir um conjunto de 5 vetores que seja linearmente dependente.

Passo 4

Considere E = R^5 com a base canônica e1,e2,e3,e4,e5. Defina o conjunto
S = ,e1,;e2,;e3,;e4,;e1
Esse conjunto tem cinco vetores, mas é linearmente dependente, pois já aparecem duas cópias de e1. De fato, existe relação de dependência não trivial:
1cdot e1 ;+; 0cdot e2 ;+;0cdot e3 ;+;0cdot e4 ;-;1cdot e1 ;=;0
Como S não é linearmente independente, S não pode ser base de R^5.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é, em R^5, o conjunto
e1,e2,e3,e4,e1,
que tem cinco vetores mas é linearmente dependente, logo não é base.

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