Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, dê um contra-exemplo que mostre que é falsa.
Seja
um espaço vetorial de dimensão igual a 5 então todo conjunto com cinco vetores em
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão igual a 5 e afirma que “todo conjunto com cinco vetores em
é uma base de
”. Para decidir se isso é verdadeiro ou falso, vamos usar o conceito de base em espaços vetoriais: uma base precisa ser simultaneamente geradora e linearmente independente.
Passo 2
Definição de base: um conjunto
é base de
se e somente se
-
é linearmente independente; -
gera , ou seja, .
Em um espaço de dimensão, vale o teorema: “qualquer conjunto de vetores que seja linearmente independente é base” e “qualquer conjunto de vetores que gere o espaço é base”. Mas não vale que “todo conjunto de vetores é base”—é preciso garantir alguma dessas propriedades.
Passo 3
Para refutar a afirmação, basta exibir um conjunto de 5 vetores em
que falhe em ser base, isto é, que seja linearmente dependente ou que não gere
. O modo mais simples é construir um conjunto de 5 vetores que seja linearmente dependente.
Passo 4
Considere
com a base canônica
. Defina o conjunto
Esse conjunto tem cinco vetores, mas é linearmente dependente, pois já aparecem duas cópias de
. De fato, existe relação de dependência não trivial:
Como
não é linearmente independente,
não pode ser base de
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é, em
, o conjunto
que tem cinco vetores mas é linearmente dependente, logo não é base.