Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, dê um contra-exemplo que mostre que é falsa.
(2,0) Considere em R^4 o conjunto C=(1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,0,1), podemos afirmar que C é um conjunto de vetores linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
C=v1,v2,v3,v4,v5subsetR^4
com
v1=(1,1,0,0),;v2=(1,0,1,0),;v3=(0,1,1,0),;v4=(0,0,1,1),;v5=(0,1,0,1),
e pergunta se C é linearmente dependente. O conteúdo que vamos usar é o conceito de dependência linear e o fato de que dim(R^4)=4.

Passo 2

Lembrando o teorema fundamental de dimensão: num espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente. Aqui temos dim(R^4)=4.

Passo 3

Como |C|=5>4=dim(R^4), concluímos imediatamente que C é um conjunto linearmente dependente.

Passo 4

Para dar uma demonstração construtiva, basta exibir escalares não todos nulos tal que
lambda1v1+lambda2v2+lambda3v3+lambda4v4+lambda5v5=0
Escolhendo
lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=0, lambda4=1, lambda5=-1, temos
1,(1,1,0,0)-1,(1,0,1,0)+0,(0,1,1,0)+1,(0,0,1,1)-1,(0,1,0,1) =(0,0,0,0),
uma combinação não trivial que anula.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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