Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, dê um contra-exemplo que mostre que é falsa.
Considere em
o conjunto
, podemos afirmar que C é um conjunto de vetores linearmente dependentes.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com
e pergunta se
é linearmente dependente. O conteúdo que vamos usar é o conceito de dependência linear e o fato de que
.
Passo 2
Lembrando o teorema fundamental de dimensão: num espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto com mais de
vetores é necessariamente linearmente dependente. Aqui temos
.
Passo 3
Como
, concluímos imediatamente que
é um conjunto linearmente dependente.
Passo 4
Para dar uma demonstração construtiva, basta exibir escalares não todos nulos tal que
Escolhendo
,
,
,
,
, temos
uma combinação não trivial que anula.
Resposta
A afirmação é verdadeira.