Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, dê um contra-exemplo que mostre que é falsa.
(2,0) S A função T: R^2 R^4 definida por T(x, y)=(y, y-x, x y, 0) é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a aplicação
T:R^2toR^4
definida por
T(x,y) = l(y,;y - x,;x,y,;0r)
é uma transformação linear. Ou seja, precisamos checar se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e escalar cinR, vale
  1. T(u+v)=T(u)+T(v)
  2. T(c,u)=c,T(u).

Passo 2

Vamos testar a aditividade escolhendo
u=(1,0), v=(0,1)
Então
u+v=(1,1),
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T(u+v)=T(1,1)=l(1,;1-1,;1cdot1,;0r)=(1,0,1,0)

Passo 3

Por outro lado,
T(u)=T(1,0)=l(0,;0-1,;1cdot0,;0r)=(0,-1,0,0),
T(v)=T(0,1)=l(1,;1-0,;0cdot1,;0r)=(1,1,0,0)
Somando,
T(u)+T(v)=(0,-1,0,0)+(1,1,0,0)=(1,0,0,0)

Passo 4

Como
T(u+v)=(1,0,1,0)neq(1,0,0,0)=T(u)+T(v),
a propriedade de aditividade falha. Portanto T não é linear.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é dado por u=(1,0) e v=(0,1), pois
T(u+v)neq T(u)+T(v)

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