1 1,0 ponto Marque V ou F.
(F) Se lambda é autovalor de A e beta é autovalor de B, então lambda beta é autovalor de A B.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a afirmação: “Se lambda é autovalor de A e beta é autovalor de B, então lambdabeta é autovalor de AB”. O conteúdo envolve autovalores de produtos de matrizes e, em geral, essa propriedade só vale se A e B comutam. Aqui vamos apresentar um contraexemplo para mostrar que a afirmação é falsa.

Passo 2

Escolhemos as matrizes
A = 0 & 10 & 0, B = 0 & 01 & 0

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det-lambda & 10 & -lambda = lambda^2,
logo os autovalores de A são lambda1=0 e lambda2=0.

Passo 4

Analogamente, para B temos
det(B - beta I) = det-beta & 01 & -beta = beta^2,
portanto beta1=0 e beta2=0.

Passo 5

Vamos calcular o produto
AB = 0 & 10 & 0 0 & 01 & 0 = 1 & 00 & 0

Passo 6

O polinômio característico de AB é
det(AB - mu I) = det1-mu & 00 & -mu = -mu(1-mu),
logo os autovalores de AB são mu1=1 e mu2=0. Como lambdabeta = 0cdot0=0, mas AB tem o autovalor 1neq0, a afirmação falha.

Resposta

F

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