Seja
uma transformação linear definida por
e
e
.
determine
tal que
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e fornece os valores de
em três vetores:
com
Queremos encontrar todos os vetores
tais que
, isto é, o núcleo de
.
Passo 2
Primeiro mostramos que
é base de
. Basta ver que o determinante da matriz cujas linhas são
é não nulo:
Logo, qualquer
vinR^3 pode ser escrito de modo único como
para alguns escalares
a,b,c .
Passo 3
Pela linearidade de
T temos
Escrevendo em forma de par ordenado:
Queremos
T(v)=0 , isto é,
Passo 4
Para resolver o sistema, multiplico a primeira equação por 3 e subtraio a segunda:
Substituindo
b=2c na primeira equação:
Assim
Resposta
O conjunto de todas as soluções de
T(v)=0 é
Em particular, um vetor não-nulo do núcleo é
(2,1,-1) .