Seja T: R^3 R^2 uma transformação linear definida por T(1,1,1)=(1,3) e T(1,1,0)= (-2,-2) e T(1,0,0)=(5,7).
(3,0) determine v in R^3 tal que T(v)=0

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^2 e fornece os valores de T em três vetores:
v1=(1,1,1), v2=(1,1,0), v3=(1,0,0),
com
T(v1)=(1,3), T(v2)=(-2,-2), T(v3)=(5,7)
Queremos encontrar todos os vetores vinR^3 tais que T(v)=0, isto é, o núcleo de T.

Passo 2

Primeiro mostramos que v1,v2,v3 é base de R^3. Basta ver que o determinante da matriz cujas linhas são v1,v2,v3 é não nulo:
det 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 =-1neq 0
Logo, qualquer vinR^3 pode ser escrito de modo único como
v = a,v1 + b,v2 + c,v3
para alguns escalares a,b,c.

Passo 3

Pela linearidade de T temos
T(v)=a,T(v1)+b,T(v2)+c,T(v3) =(a,-2b+5c;;3a-2b+7c)
Escrevendo em forma de par ordenado:
T(v)=l(a-2b+5c,;3a-2b+7cr)
Queremos T(v)=0, isto é,
a - 2b + 5c = 0, 3a - 2b + 7c = 0

Passo 4

Para resolver o sistema, multiplico a primeira equação por 3 e subtraio a segunda:
3(a - 2b + 5c) - (3a - 2b +7c) = 0 ;Longrightarrow;-4b +8c = 0 ;Longrightarrow;b = 2c
Substituindo b=2c na primeira equação:
a - 2(2c) +5c = 0 ;Longrightarrow;a + c = 0 ;Longrightarrow;a = -,c
Assim
v = a,v1 + b,v2 + c,v3 = -c,(1,1,1) + 2c,(1,1,0) + c,(1,0,0) = c,(2,1,-1)

Resposta

O conjunto de todas as soluções de T(v)=0 é
ker(T)=,c,(2,1,-1)mid cinR
Em particular, um vetor não-nulo do núcleo é (2,1,-1).

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