Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que T(1,0,0)=(1,3,2), T(0,1,0)=(0,0,0) e T(0,0,1)=(2,-1,0). Responda cada um dos itens:
Ache uma base para N(T);

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T:R^3toR^3
pelas imagens dos vetores canônicos
T(1,0,0)=(1,3,2),
T(0,1,0)=(0,0,0) e
T(0,0,1)=(2,-1,0).
Queremos encontrar uma base do núcleo N(T)=xinR^3mid T(x)=0.

Passo 2

Para um vetor genérico x=(x1,x2,x3), pela linearidade temos
T(x) = x1,T(1,0,0)+x2,T(0,1,0)+x3,T(0,0,1) = x1(1,3,2)+x2(0,0,0)+x3(2,-1,0),
ou seja
T(x)=(,x1+2x3,;3x1-x3,;2x1,)

Passo 3

Impondo T(x)=(0,0,0) obtemos o sistema
x1 + 2x3 = 0, 3x1 - x3 = 0, 2x1 = 0

Passo 4

Da terceira equação segue
2x1=0implies x1=0.
Substituindo em 3x1 - x3=0
-x3=0implies x3=0.
A primeira equação fica 0+2cdot0=0, satisfeita. Resta x2 livre, digamos x2=t.

Passo 5

A solução geral é
(x1,x2,x3)=(0,t,0)=t,(0,1,0),
logo todo vetor do núcleo é múltiplo de (0,1,0).

Resposta

Uma base para N(T) é (0,1,0).

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