Determine a equação geral do plano com equação vetorial pi:(x, y, z)=(0,1,2)+(3,1,2) t+(1,2,1) s.

Passo 1

O enunciado nos dá um plano em forma vetorial
pi : (x,y,z) = (0,1,2) + (3,1,2),t + (1,2,1),s
Queremos encontrar a equação geral (cartesiana) do plano. Para isso vamos precisar:
– de um ponto que pertence ao plano;
– de dois vetores diretores do plano;
– do produto vetorial para achar um vetor normal ao plano;
– da fórmula escalar do plano ncdot[(x,y,z)-P0]=0 .

Passo 2

Identificamos o ponto e os vetores diretores:
P0 = (0,1,2),
u = (3,1,2) e v = (1,2,1).

Passo 3

O vetor normal n é dado pelo produto vetorial utimesv:
n ;=; utimesv ;=; i & j & k 3 & 1 & 2 1 & 2 & 1 ;=; (-3,,-1,,5)

Passo 4

Usamos a equação escalar do plano:
ncdotl[(x,y,z)-P0r]=0 ;Longrightarrow; (-3,-1,5)cdot(x-0,;y-1,;z-2)=0
Isso dá
-3x -1(y-1) +5(z-2) = 0 ;Longrightarrow; -3x -y +1 +5z -10 = 0 ;Longrightarrow; -3x -y +5z -9 = 0
Multiplicando por -1 para ficar na forma tradicional, obtemos
3x + y -5z +9 = 0

Resposta

3x + y -5z +9 = 0

Exercícios relacionados