Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, dê um contra-exemplo que mostre que é falsa.
Considere o vetor v=(2,3,2) in R^3 e a base beta=(1,0,1),(0,3,0)(1,0,-1) do R^3 então [v]beta=[l2 1 0].

Passo 1

O enunciado dá o vetor vec v = (2,3,2) e a base
beta = ,b1=(1,0,1),;b2=(0,3,0),;b3=(1,0,-1)
de R^3. Queremos ver se, ao escrever
vec v = x,b1 + y,b2 + z,b3,
os coeficientes (x,y,z) formam o vetor coluna l[2;1;0r]^T.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos
x(1,0,1) + y(0,3,0) + z(1,0,-1) ;=;(x+z,;3y,;x-z)
e isso deve ser igual a (2,3,2).

Passo 3

Igualando as componentes, surge o sistema
x + z = 2, 3y = 3, x - z = 2
Da segunda equação vem y=1. Somando a primeira e a terceira dá
2x = 4Longrightarrow x=2,
e então z = 2 - x = 0.

Passo 4

Portanto os coeficientes são (x,y,z)=(2,1,0), ou seja
[vec v]beta = 210

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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