Determine equações paramétricas para o plano cuja equação geral é 2 x+3 y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede para obter uma representação paramétrica do plano dado por
2x + 3y + z = 1
O conteúdo principal aqui é saber que um plano pode ser escrito na forma
r(u,v) = r0 + u, v1 + v, v2,
onde r0 é um ponto particular do plano e v1, v2 são dois vetores diretores contidos nele.

Passo 2

Primeiro, encontramos um ponto particular r0 que satisfaça 2x+3y+z=1.
Tomando x=0 e y=0 temos
z=1,
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r0 = (0,0,1)

Passo 3

Em seguida, precisamos de dois vetores diretores v1 e v2 que satisfaçam a equação homogênea
2x + 3y + z = 0
Escolhendo x=1, y=0 obtemos z=-2, então
v1 = (1,0,-2)
Escolhendo x=0, y=1 obtemos z=-3, então
v2 = (0,1,-3)

Passo 4

Agora montamos a forma paramétrica do plano:
r(s,t) = (0,0,1) + s,(1,0,-2) + t,(0,1,-3)
Separando as componentes, fica
x = s y = t z = 1 - 2s - 3t

Resposta

Uma representação paramétrica é
x(s,t) = s, y(s,t) = t, z(s,t) = 1 - 2s - 3t,
com (s,t)in R^2.

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