Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que T(1,0,0)=(1,3,2), T(0,1,0)=(0,0,0) e T(0,0,1)=(2,-1,0). Responda cada um dos itens:
Ache uma base para Im(T);

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3to R^3 pelos valores em cada vetor da base canônica:
T(1,0,0)=(1,3,2), T(0,1,0)=(0,0,0), T(0,0,1)=(2,-1,0)
Queremos encontrar uma base para a imagem de T. Sabemos que
Im(T)=spanlT(1,0,0),,T(0,1,0),,T(0,0,1)r

Passo 2

Da definição temos os vetores
v1=T(1,0,0)=(1,3,2), v2=T(0,1,0)=(0,0,0), v3=T(0,0,1)=(2,-1,0)
Como v2 é o vetor nulo, ele não contribui para a dimensão do espaço. Resta verificar se v1 e v3 são linearmente independentes. Não existe escalar lambda tal que
(2,-1,0)=lambda,(1,3,2),
pois isso exigiria 2=lambda, -1=3lambda e 0=2lambda, o que é impossível. Logo v1 e v3 são independentes e formam uma base de Im(T).

Resposta

Uma base para Im(T) é
(1,3,2),,(2,-1,0)

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