Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se cada coluna de uma matriz em forma escalonada por linhas tiver um pivô, então cada entrada que não for pivô será nula.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A já em forma escalonada por linhas (row echelon form) e que cada coluna de A contém um pivô. Pergunta-se se, sob essa hipótese, toda entrada de A que não seja pivô é necessariamente zero. Para responder, vamos lembrar que em forma escalonada por linhas só garantimos que, em cada coluna de pivô, as entradas abaixo do pivô são zero, mas as entradas acima podem ser quaisquer valores.

Passo 2

Basta um contraexemplo. Considere
A = 1 & 2 [6pt] 0 & 3
Aqui:
  • A primeira coluna tem pivô em a11=1 (e abaixo dele há zero).
  • A segunda coluna tem pivô em a22=3 (e abaixo não há nada).
Logo, cada coluna tem um pivô e A está em forma escalonada por linhas.
No entanto, a entrada a12=2 não é pivô e é diferente de zero.]

Resposta

A afirmação é falsa.

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