Nos Exercícios 25-28, determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
x+y+ 7 z & =-7 2 x+3 y+ 17 z & =-16 x+2 y+(a^2+1) z & =3 a

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x + y + 7z = -7, 2x + 3y + 17z = -16, x + 2y + l(a^2+1r)z = 3a,
e pede para determinar, em função de a, quando o sistema não tem solução, quando tem exatamente uma solução ou quando tem infinitas soluções. Para isso vamos usar determinantes e estudar a consistência do sistema.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 & 7 2 & 3 & 17 1 & 2 & a^2+1
e calculamos seu determinante:
det A = 1 & 1 & 7 2 & 3 & 17 1 & 2 & a^2+1 =1l(3(a^2+1)-17cdot2r) -1l(2(a^2+1)-17cdot1r) +7l(2cdot2-3cdot1r)
Simplificando cada termo temos
3(a^2+1)-34=3a^2-31, 2(a^2+1)-17=2a^2-15, 2cdot2-3=1,
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det A=(3a^2-31)-(2a^2-15)+7 =a^2-9

Passo 3

Se det Aneq0, o sistema tem solução única. Como
det A = a^2-9=(a-3)(a+3),
concluímos que para aneq3 e aneq-3 existe exatamente uma solução.

Passo 4

Para a=3 temos det A=0. Substituindo na terceira equação vem
x+2y+(3^2+1)z=3cdot3 ;Longrightarrow; x+2y+10z=9
Comparando com a primeira equação x+y+7z=-7, fazemos
(2)-2times(1)colon;y+3z=-2, (3)-(1)colon;y+3z=16,
que são contraditórias ( -2neq16). Logo o sistema é inconsistente e não tem solução quando a=3.

Passo 5

Para a=-3 também det A=0. A terceira equação fica
x+2y+((-3)^2+1)z=3cdot(-3) ;Longrightarrow; x+2y+10z=-9
Repetindo os mesmos cálculos
(2)-2times(1)colon;y+3z=-2, (3)-(1)colon;y+3z=-2,
que são idênticos, portanto o sistema é consistente mas a matriz dos coeficientes perde posto, implicando em infinitas soluções para a=-3.

Resposta

Para aneqpm3 o sistema tem exatamente uma solução.
Para a=3 o sistema não tem solução.
Para a=-3 o sistema tem infinitas soluções.

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