Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Cada matriz tem uma única forma escalonada reduzida.
Cada matriz tem uma única forma escalonada reduzida.
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação “cada matriz tem uma única forma escalonada reduzida” é verdadeira ou falsa.
Conteúdo: álgebra linear, operações elementares em linhas, forma escalonada reduzida (RREF).
Para resolver, vamos precisar das definições de forma escalonada e forma escalonada reduzida, além de um argumento que mostra que a RREF é invariável sob diferentes sequências de operações de linha.
Conteúdo: álgebra linear, operações elementares em linhas, forma escalonada reduzida (RREF).
Para resolver, vamos precisar das definições de forma escalonada e forma escalonada reduzida, além de um argumento que mostra que a RREF é invariável sob diferentes sequências de operações de linha.
Passo 2
Definimos primeiro forma escalonada e forma escalonada reduzida.
Uma matriz está em forma escalonada se, ao percorrer as linhas de cima para baixo, cada primeira entrada não nula (pivot) de uma linha está estritamente à direita do pivot da linha anterior, e toda linha composta só de zeros fica abaixo das demais.
Uma matriz está em forma escalonada reduzida se, além de ser escalonada, satisfaz:
Uma matriz está em forma escalonada se, ao percorrer as linhas de cima para baixo, cada primeira entrada não nula (pivot) de uma linha está estritamente à direita do pivot da linha anterior, e toda linha composta só de zeros fica abaixo das demais.
Uma matriz está em forma escalonada reduzida se, além de ser escalonada, satisfaz:
Passo 3
Mostramos agora que, dada uma matriz
, não podem existir duas formas escalonadas reduzidas distintas
e
ambas linha-equivalentes a
.
- A linha-espaço de
é gerado pelas linhas de qualquer de suas formas escalonadas reduzidas. Logo as linhas de geram o mesmo subespaço que as de . - Em cada RREF, as colunas de pivot correspondem a uma base única do row space de
. Portanto, e têm pivots nas mesmas colunas e na mesma ordem de linhas. - Nessas colunas de pivot, ambas as matrizes têm 1 na posição do pivot e 0 em todas as outras linhas, ou seja, coincidência total nessas entradas.
- As colunas não-pivot são combinações lineares fixas das colunas de pivot, e essa combinação é determinada pelo fato de a matriz já estar reduzida. Assim, as entradas nas colunas livres também coincidem entre
e .
Portanto não há como construir duas RREFs diferentes a partir de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.