Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Cada matriz tem uma única forma escalonada reduzida.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação “cada matriz tem uma única forma escalonada reduzida” é verdadeira ou falsa.
Conteúdo: álgebra linear, operações elementares em linhas, forma escalonada reduzida (RREF).
Para resolver, vamos precisar das definições de forma escalonada e forma escalonada reduzida, além de um argumento que mostra que a RREF é invariável sob diferentes sequências de operações de linha.

Passo 2

Definimos primeiro forma escalonada e forma escalonada reduzida.
Uma matriz está em forma escalonada se, ao percorrer as linhas de cima para baixo, cada primeira entrada não nula (pivot) de uma linha está estritamente à direita do pivot da linha anterior, e toda linha composta só de zeros fica abaixo das demais.
Uma matriz está em forma escalonada reduzida se, além de ser escalonada, satisfaz:
(i) cada pivot va<= 1, (ii) em cada coluna de pivot, todos os outros e<=mentos são 0 ã

Passo 3

Mostramos agora que, dada uma matriz M, não podem existir duas formas escalonadas reduzidas distintas R1 e R2 ambas linha-equivalentes a M.
  1. A linha-espaço de M é gerado pelas linhas de qualquer de suas formas escalonadas reduzidas. Logo as linhas de R1 geram o mesmo subespaço que as de R2.
  2. Em cada RREF, as colunas de pivot correspondem a uma base única do row space de M. Portanto, R1 e R2 têm pivots nas mesmas colunas e na mesma ordem de linhas.
  3. Nessas colunas de pivot, ambas as matrizes têm 1 na posição do pivot e 0 em todas as outras linhas, ou seja, coincidência total nessas entradas.
  4. As colunas não-pivot são combinações lineares fixas das colunas de pivot, e essa combinação é determinada pelo fato de a matriz já estar reduzida. Assim, as entradas nas colunas livres também coincidem entre R1 e R2.
Portanto não há como construir duas RREFs diferentes a partir de M.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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