Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se a forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada de um sistema linear tiver uma linha de zeros, então o sistema deve ter uma infinidade de soluções.
Se a forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada de um sistema linear tiver uma linha de zeros, então o sistema deve ter uma infinidade de soluções.
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Se a forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada de um sistema linear tiver uma linha de zeros, então o sistema deve ter uma infinidade de soluções.”
Conteúdo que vamos usar: teoria de sistema linear, forma escalonada reduzida, número de pivôs, variáveis livres e relação entre them e o conjunto de soluções.
“Se a forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada de um sistema linear tiver uma linha de zeros, então o sistema deve ter uma infinidade de soluções.”
Conteúdo que vamos usar: teoria de sistema linear, forma escalonada reduzida, número de pivôs, variáveis livres e relação entre them e o conjunto de soluções.
Passo 2
Lembremos que, numa forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada, cada linha não nula contém exatamente um pivô (o primeiro 1 em uma coluna) e todas as linhas de zeros ficam abaixo das linhas não nulas. O número de pivôs é precisamente o posto da matriz de coeficientes, digamos .
Passo 3
Se a forma escalonada reduzida tem uma linha de zeros (isto é, uma linha completamente nula, incluindo a coluna dos termos independentes), então o número de linhas não nulas é menor que o número total de linhas da matriz aumentada. Mas o número de pivôs não pode exceder o número de variáveis, digamos
.
Passo 4
Em particular, ter pelo menos uma linha de zeros implica que
portanto o número de pivôs é menor que
. Isso significa que há pelo menos uma variável que não é pivô, ou seja, uma variável livre.
Passo 5
Quando existe pelo menos uma variável livre e o sistema é consistente (não surge linha do tipo
com
), então há graus de liberdade no sistema, e logo uma infinitude de soluções.
Resposta
A afirmação é verdadeira.