Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se o determinante de uma matriz A de ordem n for diferente de zero, então o sistema homogêneo A x=0 tem apenas a solução trivial.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A de ordem n tal que det(A)neq 0 e pede para decidir se, sob essa condição, o sistema homogêneo
A x = 0
tem apenas a solução trivial x=0.
Conteúdo envolvido: propriedades de determinante, invertibilidade de matrizes e núcleo (kernel) de operadores lineares.

Passo 2

Um resultado fundamental de Álgebra Linear é:
det(A)neq 0 Long<=ftrightarrow A é invertível éí
Ou seja, existe uma matriz A^-1 tal que
A^-1A = AA^-1 = In

Passo 3

Se A é invertível, podemos multiplicar a equação A x = 0 por A^-1 à esquerda, obtendo
A^-1(A x) = A^-10 Longrightarrow (In)x = 0 Longrightarrow x = 0
Logo, a única solução do sistema homogêneo é x=0.

Resposta

Verdadeira.

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