Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se o determinante de uma matriz A de ordem n for diferente de zero, então o sistema homogêneo
tem apenas a solução trivial.
Se o determinante de uma matriz A de ordem n for diferente de zero, então o sistema homogêneo
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
de ordem
tal que
e pede para decidir se, sob essa condição, o sistema homogêneo
tem apenas a solução trivial
.
Conteúdo envolvido: propriedades de determinante, invertibilidade de matrizes e núcleo (kernel) de operadores lineares.
Conteúdo envolvido: propriedades de determinante, invertibilidade de matrizes e núcleo (kernel) de operadores lineares.
Passo 2
Um resultado fundamental de Álgebra Linear é:
Ou seja, existe uma matriz
tal que
Passo 3
Se
é invertível, podemos multiplicar a equação
por
à esquerda, obtendo
Logo, a única solução do sistema homogêneo é
.
Resposta
Verdadeira.