Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u=(u1, u2) e v=(v1, v2) por
u+v=(u1+v1+1, u2+v2+1), a u=(a u1, a u2)
Mostre que (0,0) neq 0.

Passo 1

O enunciado define em V= R^2 uma “adição” não usual
u+ v=(u1+v1+1,;u2+v2+1)
e o produto por escalar usual
a u=(a,u1,;a,u2),
Queremos identificar o vetor nulo 0, isto é, o elemento que satisfaz
u+0= u
para todo uin V, e mostrar que esse 0 não é (0,0).

Passo 2

Seja e=(e1,e2) o candidato a vetor nulo. A condição
u+ e= u para todo u=(u1,u2) obriga
(u1+e1+1,;u2+e2+1)=(u1,u2)
Igualando componentes, temos as duas equações
u1+e1+1=u1, u2+e2+1=u2

Passo 3

Das equações
u1+e1+1=u1;Rightarrow;e1=-1, u2+e2+1=u2;Rightarrow;e2=-1,
concluímos que o vetor nulo no espaço dado é
0=(e1,e2)=(-1,-1)

Passo 4

Para ver direto que (0,0) não é vetor nulo, basta escolher, por exemplo, u=(0,0) e calcular
u+(0,0)=(0+0+1,;0+0+1)=(1,1)neq(0,0)
Como u+(0,0) não volta a u, (0,0) falha na propriedade de identidade aditiva. Logo
(0,0)neq0=(-1,-1)

Resposta

O vetor nulo é 0=(-1,-1), portanto (0,0)neq0.

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