Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define em
uma “adição” não usual
e o produto por escalar usual
Queremos identificar o vetor nulo
, isto é, o elemento que satisfaz
para todo
, e mostrar que esse
não é
.
Passo 2
Seja
o candidato a vetor nulo. A condição
para todo
obriga
Igualando componentes, temos as duas equações
Passo 3
Das equações
concluímos que o vetor nulo no espaço dado é
Passo 4
Para ver direto que
não é vetor nulo, basta escolher, por exemplo,
e calcular
Como
não volta a
,
falha na propriedade de identidade aditiva. Logo
Resposta
O vetor nulo é
, portanto
.