Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A for uma matriz não invertivel nxn, então a matriz obtida pela troca de duas linhas de A não pode ser invertível.
Se A for uma matriz não invertivel nxn, então a matriz obtida pela troca de duas linhas de A não pode ser invertível.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
de ordem
que não é invertível e que obtivemos outra matriz
trocando duas linhas de
. O que precisamos usar aqui é a relação entre determinante e inversibilidade, bem como o efeito de uma operação elementar (“troca de linhas”) sobre o determinante.
Passo 2
Como
não é invertível, temos
Esse fato decorre da propriedade fundamental de matrizes quadradas: uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero.
Passo 3
Trocar duas linhas de
equivale a multiplicar
por uma matriz elementar
(que realiza exatamente essa troca) à esquerda, ou seja,
Sabemos que toda matriz elementar de troca de linhas é invertível e tem determinante
.
Passo 4
Pelo fato de o determinante ser multiplicativo, obtemos
Como
, a matriz
também não é invertível.
Resposta
A afirmação é verdadeira.