Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A for uma matriz não invertivel nxn, então a matriz obtida pela troca de duas linhas de A não pode ser invertível.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A de ordem n que não é invertível e que obtivemos outra matriz B trocando duas linhas de A. O que precisamos usar aqui é a relação entre determinante e inversibilidade, bem como o efeito de uma operação elementar (“troca de linhas”) sobre o determinante.

Passo 2

Como A não é invertível, temos
det(A)=0
Esse fato decorre da propriedade fundamental de matrizes quadradas: uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero.

Passo 3

Trocar duas linhas de A equivale a multiplicar A por uma matriz elementar P (que realiza exatamente essa troca) à esquerda, ou seja,
B = P,A
Sabemos que toda matriz elementar de troca de linhas é invertível e tem determinante det(P)=-1.

Passo 4

Pelo fato de o determinante ser multiplicativo, obtemos
det(B)=det(P,A)=det(P),det(A)=(-1)cdot 0 = 0
Como det(B)=0, a matriz B também não é invertível.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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