Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Duas matrizes quadradas A e B podem ter o mesmo determinante se, e somente se, forem do mesmo tamanho.

Passo 1

O enunciado afirma: “Duas matrizes quadradas A e B podem ter o mesmo determinante se, e somente se, forem do mesmo tamanho.”
O conteúdo aqui é a definição de determinante e a comparação de valores numéricos de determinantes de matrizes quadradas.

Passo 2

Lembrando a teoria, o determinante det(M) está definido apenas para matrizes quadradas M de ordem ntimes n. Logo, para que det(A) e det(B) existam, ambas devem ser quadradas. Porém, a existência do determinante não obriga que as ordens de A e B sejam iguais.

Passo 3

A afirmativa “se, e somente se, forem do mesmo tamanho” diz que matrizes de ordens diferentes não poderiam ter determinantes iguais. Mas o determinante é apenas um número real (ou complexo), e nada impede duas matrizes quadradas de ordens distintas de produzir o mesmo número.

Passo 4

Contrexemplo concreto:
Seja
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 1,
que é 2times 2 e tem det(A)=1,
e seja
B = 1 & 0 & 0 [4pt] 0 & 1 & 0 [4pt] 0 & 0 & 1 ,
que é 3times 3 e tem det(B)=1.
Aqui det(A)=det(B)=1, mas A e B têm ordens diferentes.]

Resposta

A afirmação é falsa.

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