Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Duas matrizes quadradas A e B podem ter o mesmo determinante se, e somente se, forem do mesmo tamanho.
Passo 1
O enunciado afirma: “Duas matrizes quadradas e podem ter o mesmo determinante se, e somente se, forem do mesmo tamanho.”
O conteúdo aqui é a definição de determinante e a comparação de valores numéricos de determinantes de matrizes quadradas.
Passo 2
Lembrando a teoria, o determinante está definido apenas para matrizes quadradas de ordem . Logo, para que e existam, ambas devem ser quadradas. Porém, a existência do determinante não obriga que as ordens de e sejam iguais.
Passo 3
A afirmativa “se, e somente se, forem do mesmo tamanho” diz que matrizes de ordens diferentes não poderiam ter determinantes iguais. Mas o determinante é apenas um número real (ou complexo), e nada impede duas matrizes quadradas de ordens distintas de produzir o mesmo número.
Passo 4
Contrexemplo concreto:
Seja
que é e tem ,
e seja
que é 3times 3 e tem det(B)=1.
Aqui det(A)=det(B)=1, mas A e B têm ordens diferentes.]