Encontre a inversa da matriz dada, se essa inversa existir
D=[cccc 2 & 0 & 0 & 0 0 & -4 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & -7 ].

Passo 1

O enunciado dá uma matriz diagonal D de ordem 4 e pede sua inversa, caso exista. O conteúdo aqui é o cálculo da inversa de uma matriz diagonal, para o qual precisamos saber que uma matriz diagonal é invertível se, e somente se, todos os seus elementos na diagonal forem não nulos, e que a inversa de uma matriz diagonal é outra matriz diagonal cujos elementos são os inversos (recíprocos) dos originais.

Passo 2

Verificamos se D é invertível calculando seu determinante. Para uma matriz diagonal, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Aqui,
det(D)=2cdot(-4)cdot3cdot(-7)=168,
que é diferente de zero. Logo, D é invertível.

Passo 3

Como D é diagonal e invertível, sua inversa D^-1 também será diagonal, com cada elemento igual ao recíproco do elemento correspondente de D. Assim,
(D^-1)11=12, (D^-1)22=1-4=-14, (D^-1)33=13, (D^-1)44=1-7=-17

Passo 4

Reunindo esses elementos, obtemos
D^-1= tfrac12 & 0 & 0 & 0 0 & -tfrac14 & 0 & 0 0 & 0 & tfrac13 & 0 0 & 0 & 0 & -tfrac17

Resposta

D^-1= tfrac12 & 0 & 0 & 0 0 & -tfrac14 & 0 & 0 0 & 0 & tfrac13 & 0 0 & 0 & 0 & -tfrac17

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