Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Um sistema homogêneo de quatro equações lineares em seis variáveis tem infinitas soluções.
Um sistema homogêneo de quatro equações lineares em seis variáveis tem infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado fala de um sistema homogêneo de quatro equações lineares em seis variáveis, ou seja, um sistema da forma
com
de tamanho
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Dimensão do Núcleo: em um sistema homogêneo, o número de soluções está relacionado ao posto da matriz de coeficientes.
Passo 2
Sabemos que todo sistema homogêneo sempre admite a solução trivial
. Além disso, o posto
da matriz
satisfaz
Passo 3
Pelo Teorema Núcleo–Imagem (ou Teorema da Dimensão), a dimensão do espaço de soluções é
Como há pelo menos duas variáveis livres, o espaço de soluções tem dimensão
, ou seja, é infinito.
Resposta
Verdadeira.