Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A for uma matriz não invertível nxn, então o sistema homogêneo
tem uma infinidade de soluções.
Se A for uma matriz não invertível nxn, então o sistema homogêneo
Passo 1
O enunciado afirma que, se
é uma matriz não invertível de ordem
, então o sistema homogêneo
tem uma infinidade de soluções.
O conteúdo necessário envolve conceitos de invertibilidade de matriz, posto (), nulidade ( ) e o Teorema do Posto–Nulidade para sistemas lineares homogêneos.
O conteúdo necessário envolve conceitos de invertibilidade de matriz, posto (), nulidade (
Passo 2
Uma matriz quadrada
é não invertível exatamente quando
o que implica
Passo 3
Pelo Teorema do Posto–Nulidade, temos
Como , segue que
Passo 4
O núcleo
é um subespaço vetorial de
de dimensão estritamente positiva, portanto contém infinitos vetores. Cada vetor em
é uma solução de
logo existem infinitas soluções.
Resposta
A afirmação é verdadeira.