Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A for uma matriz não invertível nxn, então o sistema homogêneo A X=0 tem uma infinidade de soluções.

Passo 1

O enunciado afirma que, se é uma matriz não invertível de ordem , então o sistema homogêneo
tem uma infinidade de soluções.
O conteúdo necessário envolve conceitos de invertibilidade de matriz, posto (), nulidade ( ) e o Teorema do Posto–Nulidade para sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Uma matriz quadrada é não invertível exatamente quando
o que implica

Passo 3

Pelo Teorema do Posto–Nulidade, temos
Como , segue que

Passo 4

O núcleo ker(A) é um subespaço vetorial de R^n de dimensão estritamente positiva, portanto contém infinitos vetores. Cada vetor em ker(A) é uma solução de
A X = 0,
logo existem infinitas soluções.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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