Verifique quais subconjuntos de M2(R) são subespaços vetoriais.
A=[lla & b 0 & c] in M2(R) rvert, a, b, c in R

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = l,a & b0 & cin M2(R) mid a,b,cinRr
e pede para verificar se A é subespaço vetorial de M2(R). Para isso precisamos checar três propriedades: (1) 0in A, (2) fechado sob soma e (3) fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz nula
0 = 0 & 00 & 0
pertence a A. Basta escolher a=0, b=0, c=0, logo 0in A.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos duas matrizes em A:
M1 = a1 & b10 & c1, M2 = a2 & b20 & c2
A soma é
M1 + M2 = a1+a2 & b1+b20+0 & c1+c2 = a' & b'0 & c'
com a'=a1+a2, b'=b1+b2, c'=c1+c2 reais. Logo M1+M2in A.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e
M = a & b0 & cin A
Então
lambda M = lambda a & lambda b0 & lambda c = a' & b'0 & c'
com a'=lambda a, b'=lambda b, c'=lambda c reais. Logo lambda Min A.

Resposta

A é subespaço vetorial de M2(R).

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