Verifique quais subconjuntos de R^3 são subespaços vetoriais.
W=(x, y, 0) mid x in R

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W = (x,y,0)mid x,yinR
em R^3 e pede para verificar se W é subespaço vetorial. Para isso precisamos checar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Basta notar que escolhendo x=0 e y=0 temos
(0,0,0)in W
Logo W não é vazio e contém o vetor neutro.

Passo 3

Verificamos a fechamento sob soma. Tomemos dois vetores genéricos em W:
u=(x1,y1,0), v=(x2,y2,0)
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;0+0) = (x1+x2,;y1+y2,;0)
Como x1+x2 e y1+y2 são reais, segue que u+vin W. Portanto W é fechado sob soma.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e u=(x,y,0)in W. Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y,;alphacdot 0) = (alpha x,;alpha y,;0)
Como alpha x e alpha y são reais, temos alpha uin W. Logo W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de R^3.

Resposta

W é um subespaço vetorial de R^3.

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