Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos.
Se
for uma matriz
e
uma matriz
tal que
é uma matriz
então
e
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
e
é uma matriz
. Sabe-se que o produto
existe e resulta numa matriz
. O conteúdo aqui é análise de dimensões de matrizes e uso de transposição.
Passo 2
Como
tem dimensões
, a sua transposta
tem dimensões invertidas, isto é,
Passo 3
Analogamente, se
é
, então
Passo 4
Para que o produto
esteja bem-definido, o número de colunas de
deve coincidir com o número de linhas de
. Logo,
Passo 5
O produto
terá dimensões “número de linhas de
” por “número de colunas de
”, ou seja,
Como o enunciado afirma que esse produto é
, segue que
Passo 6
Obtemos exatamente
e
. Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
A afirmação é verdadeira:
e
.