Verifique quais subconjuntos de são subespaços vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
A = la & b b & cin M2(R) mid a,b,cinRr
é um subespaço vetorial de M2(R). Para isso, vamos usar o teste de subespaço: (i) a matriz zero deve pertencer a A, (ii) A deve ser fechado sob soma, (iii) A deve ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos a existência do elemento neutro. A matriz zero em M2(R) é
O = 0 & 0 0 & 0
Como nela podemos escolher a=0, b=0, c=0, temos Oin A.
Passo 3
Fechamento sob adição. Tomemos
X=a & b b & c, Y=a' & b' b' & c'
com a,b,c,a',b',c'inR. Então
X+Y =a+a' & b+b' b+b' & c+c'
Como a+a',b+b',c+c'inR, segue que X+Yin A.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
X=a & b b & cin A
Então
lambda X =lambda a & lambda b lambda b & lambda c,
e como lambda a,lambda b,lambda cinR, concluímos lambda Xin A.
Passo 5
Como A contém a matriz zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, A é de fato um subespaço vetorial de M2(R).