Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A pode ser reduzida por linhas á matriz identidade, então A é invertível.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A de ordem n e que, por meio de operações elementares de linha, conseguimos reduzir A à matriz identidade In. O conteúdo aqui é a relação entre operações de linha, matrizes elementares e invertibilidade de A.

Passo 2

Cada operação elementar de linha em A corresponde a multiplicar A à esquerda por uma matriz elementar invertível. Assim, se são necessárias k operações para chegar a In, existem matrizes elementares invertíveis E1,E2,dots,Ek tais que
Ek,Ek-1cdots E1,A = In

Passo 3

Defina E = Ek Ek-1cdots E1. Como produto de matrizes invertíveis, E é invertível. Da igualdade
E,A = In
segue, multiplicando à esquerda por E^-1, que
A = E^-1
Portanto, A possui inversa e é invertível.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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