Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A pode ser reduzida por linhas á matriz identidade, então A é invertível.
Se A pode ser reduzida por linhas á matriz identidade, então A é invertível.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
e que, por meio de operações elementares de linha, conseguimos reduzir
à matriz identidade
. O conteúdo aqui é a relação entre operações de linha, matrizes elementares e invertibilidade de
.
Passo 2
Cada operação elementar de linha em
corresponde a multiplicar
à esquerda por uma matriz elementar invertível. Assim, se são necessárias
operações para chegar a
, existem matrizes elementares invertíveis
tais que
Passo 3
Defina
. Como produto de matrizes invertíveis,
é invertível. Da igualdade
segue, multiplicando à esquerda por
, que
Portanto,
possui inversa e é invertível.
Resposta
A afirmação é verdadeira.