Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Uma matriz quadrada não tem inversa se sua forma escalonada tem uma linha de zeros.
Uma matriz quadrada não tem inversa se sua forma escalonada tem uma linha de zeros.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma matriz quadrada
de ordem
e queremos decidir se a afirmação “se a forma escalonada de
tem uma linha de zeros, então
não é invertível” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve inversibilidade de matrizes, posto (rank) e forma escalonada.
Passo 2
Lembramos que uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se, seu posto é máximo, ou seja,
Se
, então
é singular (não invertível).
Passo 3
Como operações elementares de linha não alteram o posto da matriz, ter uma linha de zeros na forma escalonada implica
. Logo
não tem inversa.
Resposta
Verdadeira