Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Um sistema de três equações lineares em duas variáveis é sempre inconsistente.

Passo 1

O enunciado fala de um sistema de três equações lineares em duas variáveis x,y e pergunta se esse sistema é sempre inconsistente. O conteúdo envolvido é a consistência de sistemas lineares, que podemos analisar por meio do posto da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada, ou geometricamente como interseção de retas no plano.

Passo 2

Uma condição geral de consistência de um sistema Av= b é
rank(A)=rank([Amid b])<= n,
onde n é o número de variáveis. No nosso caso n=2, então rank(A)<=2. Se rank(A)=rank([Amid b])<=2, o sistema é consistente (tem solução única se o posto for 2, ou infinitas se o posto for 1 ou 0). Portanto nada impede que três equações em duas incógnitas sejam consistentes; basta que alguma equação seja combinação linear das outras.

Passo 3

Por exemplo, considere o sistema
x+y=2, 2x+2y=4, 3x+3y=6
Aqui a segunda e a terceira equações são múltiplos da primeira, logo todas descrevem a mesma reta x+y=2. O posto de A e de [Amid b] é 1, que é menor que 2, então o sistema é consistente e tem infinitas soluções dadas por
(x,y)in R^2mid x+y=2

Resposta

A afirmação é falsa. O sistema pode ser consistente se pelo menos uma das equações for combinação linear das outras.

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