Determine os valores de k para que o sistema tenha
a) Nenhuma solução
x+k y & =2 k x+y & =4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em
O conteúdo aqui é estudo de existência de solução para sistemas lineares (2\times2]. Vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes para identificar quando o sistema é singular (possivelmente sem solução ou com infinitas soluções) e depois checar inconsistência.

Passo 2

Escrevendo a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos livres,
A = 1 & k[6pt] k & 1, b = 2[3pt]4
O determinante de A é
det(A)=1cdot1 - kcdot k = 1 - k^2
Se det(A)neq0, o sistema tem solução única. Para poder ter “nenhuma solução” precisamos de det(A)=0, i.e.\ 1-k^2=0.]

Passo 3

Da condição 1-k^2=0 segue
k^2=1 Longrightarrow k=1ou k=-1
Nesses valores a matriz A é singular e cabe verificar se o sistema fica inconsistente (nenhuma solução) ou indeterminado (infinitas soluções).

Passo 4

Caso k=1, as equações viram
x + y = 2, x + y = 4
Como não podemos ter simultaneamente x+y=2 e x+y=4, o sistema é inconsistente e não admite solução.

Passo 5

Caso k=-1, as equações ficam
x - y = 2, -,x + y = 4
Se multiplicarmos a primeira por -1 obtemos -x + y = -2, que contradiz o segundo ( -x+y=4). Logo também não há solução.

Resposta

k=1 ou k=-1.

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