Determine se as retas a seguir são reversas ou se se encontram em algum ponto:
r1:c x=1+3 t y=2-t z=-1+4 t e r2:l x=3-s y=1+2 s z=5-3 s

Passo 1

Temos duas retas em
O conteúdo aqui é estudo de posições relativas de retas no espaço: para ver se elas se intersectam, igualamos as coordenadas e resolvemos o sistema em . Se não houver solução, e se os vetores diretores não forem paralelos, então as retas são reversas (skew).

Passo 2

Extraímos os vetores diretores e vemos se são paralelos.
Para r1, o vetor diretor é v1=(3,,-1,,4).
Para r2, o vetor diretor é v2=(-1,,2,,-3).
Verificando razão componente a componente:
3-1=-3, -12=-tfrac12, 4-3approx -1,33
como essas razões não coincidem, v1 e v2 não são paralelos. Logo, as retas ou se cruzam em um ponto ou são reversas.

Passo 3

Para ver se se cruzam, igualamos coordenadas de r1 e r2, obtendo o sistema
1+3t = 3 - s, 2 - t = 1 + 2s, -1 + 4t = 5 - 3s

Passo 4

Da primeira equação,
1+3t = 3 - s Longrightarrow s = 3 - (1+3t) = 2 - 3t

Passo 5

Substituindo s=2-3t na segunda equação,
2 - t = 1 + 2(2 - 3t) Longrightarrow 2 - t = 1 + 4 - 6t Longrightarrow 2 - t = 5 - 6t Longrightarrow 5t = 3 Longrightarrow t = tfrac35,
então
s = 2 - 3l(tfrac35r) = 2 - tfrac95 = tfrac15

Passo 6

Verificamos a terceira equação com esses valores:
-1 + 4t = -1 + 4cdottfrac35 = -1 + tfrac125 = tfrac75,
5 - 3s = 5 - 3cdottfrac15 = 5 - tfrac35 = tfrac225
Como tfrac75neqtfrac225, não há solução comum. Portanto, as retas não se encontram.

Resposta

As retas não são paralelas e não se intersectam, logo são reversas.

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