Determine se as retas a seguir são reversas ou se se encontram em algum ponto:
Passo 1
Temos duas retas em
O conteúdo aqui é estudo de posições relativas de retas no espaço: para ver se elas se intersectam, igualamos as coordenadas e resolvemos o sistema em . Se não houver solução, e se os vetores diretores não forem paralelos, então as retas são reversas (skew).
Passo 2
Extraímos os vetores diretores e vemos se são paralelos.
Para r1, o vetor diretor é v1=(3,,-1,,4).
Para r2, o vetor diretor é v2=(-1,,2,,-3).
Verificando razão componente a componente:
3-1=-3, -12=-tfrac12, 4-3approx -1,33
como essas razões não coincidem, v1 e v2 não são paralelos. Logo, as retas ou se cruzam em um ponto ou são reversas.
Passo 3
Para ver se se cruzam, igualamos coordenadas de r1 e r2, obtendo o sistema
1+3t = 3 - s, 2 - t = 1 + 2s, -1 + 4t = 5 - 3s
Passo 4
Da primeira equação,
1+3t = 3 - s Longrightarrow s = 3 - (1+3t) = 2 - 3t
Passo 5
Substituindo s=2-3t na segunda equação,
2 - t = 1 + 2(2 - 3t) Longrightarrow 2 - t = 1 + 4 - 6t Longrightarrow 2 - t = 5 - 6t Longrightarrow 5t = 3 Longrightarrow t = tfrac35,