Determine se a afirmação é verdadeira ( V ) ou falsa (F). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez.
( ) Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F): “Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez.”
Informações dadas: temos uma “reta vertical” e o “gráfico de uma função”. A pergunta é se, para qualquer função e qualquer reta vertical, a interseção entre elas pode conter mais de um ponto ou não.
Informações dadas: temos uma “reta vertical” e o “gráfico de uma função”. A pergunta é se, para qualquer função e qualquer reta vertical, a interseção entre elas pode conter mais de um ponto ou não.
Passo 2
Vamos entender claramente o que é o “gráfico de uma função” (isto é informação necessária para resolver). Seja
uma função com domínio
. O gráfico de
é o conjunto de pares ordenados
Aqui cada par
representa o ponto no plano cuja coordenada horizontal é
e cuja coordenada vertical é
. A ideia essencial é: para cada
do domínio existe exatamente um valor
associado.
Passo 3
Vamos descrever o que é uma reta vertical. Uma reta vertical no plano tem equação da forma
onde
é um número fixo. Os pontos dessa reta têm todos a mesma coordenada horizontal
e podem ter coordenadas verticais quaisquer.
Passo 4
Agora vamos ver como é a interseção entre a reta vertical
e o gráfico de
. Um ponto
pertence à interseção se, e somente se, simultaneamente:
-
está no gráfico de , ou seja e ; e -
está na reta vertical, ou seja .
Combinando 1) e 2), um ponto da interseção deve ser exatamente do tipo
, e isso só existe se
. Logo:
- Se
, a interseção é o conjunto vazio (zero pontos). - Se
, a interseção contém pelo menos o ponto .
Passo 5
Falta mostrar que, no caso
, a interseção não pode ter dois pontos distintos. Suponha, por contradição, que existam dois pontos distintos na interseção:
e
com
. Como ambos estão no gráfico de
, pelas propriedades do gráfico teríamos
Isto implica
, contradição com a hipótese
. Portanto não podem existir dois pontos distintos com a mesma abscissa
no gráfico de uma função. Concluímos que a interseção tem no máximo um ponto.
Passo 6
Para fixar a intuição: a razão é justamente a definição de função — cada abscissa
tem um único correspondente
. Se uma curva do plano é tal que alguma reta vertical a corta em dois pontos, essa curva não é o gráfico de uma função (ex.: o círculo
é cortado pela reta
nos pontos
e
, portanto não é gráfico de uma função de
).
Resposta
V