Determine se a afirmação é verdadeira ( V ) ou falsa (F). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F): “Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez.”
Informações dadas: temos uma “reta vertical” e o “gráfico de uma função”. A pergunta é se, para qualquer função e qualquer reta vertical, a interseção entre elas pode conter mais de um ponto ou não.

Passo 2

Vamos entender claramente o que é o “gráfico de uma função” (isto é informação necessária para resolver). Seja f uma função com domínio D\subset\mathbb{R}. O gráfico de f é o conjunto de pares ordenados
\{(x,f(x)) \mid x\in D\}.
Aqui cada par (x,f(x)) representa o ponto no plano cuja coordenada horizontal é x e cuja coordenada vertical é f(x). A ideia essencial é: para cada x do domínio existe exatamente um valor f(x) associado.

Passo 3

Vamos descrever o que é uma reta vertical. Uma reta vertical no plano tem equação da forma
x = x_0,
onde x_0 é um número fixo. Os pontos dessa reta têm todos a mesma coordenada horizontal x_0 e podem ter coordenadas verticais quaisquer.

Passo 4

Agora vamos ver como é a interseção entre a reta vertical x=x_0 e o gráfico de f. Um ponto (x,y) pertence à interseção se, e somente se, simultaneamente:
  1. (x,y) está no gráfico de f, ou seja x\in D e y=f(x); e
  2. (x,y) está na reta vertical, ou seja x=x_0.
Combinando 1) e 2), um ponto da interseção deve ser exatamente do tipo (x_0,f(x_0)), e isso só existe se x_0\in D. Logo:
  • Se x_0\notin D, a interseção é o conjunto vazio (zero pontos).
  • Se x_0\in D, a interseção contém pelo menos o ponto (x_0,f(x_0)).

Passo 5

Falta mostrar que, no caso x_0\in D, a interseção não pode ter dois pontos distintos. Suponha, por contradição, que existam dois pontos distintos na interseção: (x_0,y_1) e (x_0,y_2) com y_1\neq y_2. Como ambos estão no gráfico de f, pelas propriedades do gráfico teríamos
y_1 = f(x_0)\quad\text{e}\quad y_2 = f(x_0).
Isto implica y_1=y_2, contradição com a hipótese y_1\neq y_2. Portanto não podem existir dois pontos distintos com a mesma abscissa x_0 no gráfico de uma função. Concluímos que a interseção tem no máximo um ponto.

Passo 6

Para fixar a intuição: a razão é justamente a definição de função — cada abscissa x tem um único correspondente y=f(x). Se uma curva do plano é tal que alguma reta vertical a corta em dois pontos, essa curva não é o gráfico de uma função (ex.: o círculo x^2+y^2=1 é cortado pela reta x=0 nos pontos (0,1) e (0,-1), portanto não é gráfico de uma função de x).

Resposta

V

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