Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Apresente um contraexemplo ou uma justificativa para as falsas.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja
contínua exceto em
. Se
e
, então existe
.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada neste exercício! A gente precisa determinar se uma afirmação é verdadeira ou falsa. O enunciado fala sobre uma função $ f: [-1,5] \rightarrow \mathbb{R} $ que é contínua em todo lugar, menos em $ x = 1 $. Sabemos que $ f(-1) = -2 $ e $ f(5) = 7 $. A pergunta é: existe algum número $ c $ entre -1 e 5 tal que $ f© = 0 $?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Teorema do Valor Intermediário (TVI) e verificar como a descontinuidade em $ x = 1 $ afeta a conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Este teorema diz que se uma função $ f $ é contínua em um intervalo fechado
e $ N $ é um número entre $ f(a) $ e $ f(b) $, então existe pelo menos um número $ c $ em
tal que $ f© = N $.
No nosso caso, queremos saber se $ f© = 0 $ existe entre -1 e 5. Sabemos que $ f(-1) = -2 $ e $ f(5) = 7 $. Como 0 está entre -2 e 7, o TVI diria que existe um $ c $ tal que $ f© = 0 $, se a função for contínua em todo o intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a condição dada: a função $ f $ não é contínua em $ x = 1 $. Isso significa que o TVI não pode ser aplicado diretamente no intervalo inteiro
porque há uma “quebra” na continuidade.
Para entender melhor, imagine que a função tem um salto em $ x = 1 $. Por exemplo, pode ser que quando você se aproxima de $ x = 1 $ pela esquerda, $ f(x) $ esteja abaixo de 0, e quando se aproxima pela direita, esteja acima de 0. Nesse caso, o TVI garantiria um $ c $ tal que $ f© = 0 $.
Mas, se a função não cruza o zero em nenhum dos subintervalos
ou
, mesmo com o salto em $ x = 1 $, não teríamos necessariamente um $ c $ onde $ f© = 0 $.
Passo 4
Vamos construir um contracexemplo para mostrar que a afirmação pode ser falsa. Considere a seguinte função:
Aqui, em
, a função passa de $ f(-1) = -2 $ a $ f(1-) = -1 $. Em seguida, ela salta para $ f(1+) = 7 $ e continua até $ f(5) = 7 $. Note que em nenhum ponto $ f(x) = 0 $ nesse intervalo, já que na parte de
, $ f(x) $ varia de -2 a -1 (sempre negativo) e na parte de
, $ f(x) = 7 $ (sempre positivo).
Portanto, apesar de $ f(-1) = -2 $ e $ f(5) = 7 $, não existe nenhum $ c $ em
tal que $ f© = 0 $.
Resposta
FALSO. A afirmação não é verdadeira porque, devido à descontinuidade em $ x = 1 $, é possível construir uma função que não atinge o valor zero no intervalo
.