Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{\operatorname{sen}\left(1-x^{2}+y^{2}\right)-y}{x . y} não existe.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{\sin\bigl(1 - x^2 + y^2\bigr) - y}{x\,y}
existe. Isso é um limite em duas variáveis, e vamos usar o método das retas (rotas polares) para ver se o valor depende do caminho.

Passo 2

Parametrizamos uma família de retas que passa por (1,0): seja
x = 1 + h, \quad y = m\,h,
onde h\to 0 e m é um parâmetro fixo (a inclinação da reta).

Passo 3

Substituindo na expressão, primeiro avaliamos
1 - x^2 + y^2 = 1 - (1+h)^2 + (m\,h)^2 = 1 - \bigl(1 + 2h + h^2\bigr) + m^2h^2 = -2h + (m^2 - 1)\,h^2.
Para h pequeno, \sin(u)\approx u, então
\sin\bigl(1 - x^2 + y^2\bigr) \approx -2h + (m^2-1)\,h^2.
Logo o numerador fica
\sin\bigl(1 - x^2 + y^2\bigr) - y \approx \bigl[-2h + (m^2-1)h^2\bigr] - m\,h = (-m - 2)\,h + (m^2 - 1)\,h^2.
O denominador é
x\,y = (1+h)(m\,h) = m\,h + m\,h^2.
Então a razão é
\frac{(-m - 2)\,h + (m^2 - 1)\,h^2}{m\,h + m\,h^2} = \frac{(-m - 2) + (m^2 - 1)\,h}{m + m\,h} \;\xrightarrow[h\to0]\; \frac{-m - 2}{m}.

Passo 4

O valor limite ao longo da reta de coeficiente m é
-\frac{m + 2}{m}.
Como isso depende de m, não há um único valor. Por exemplo, se m=1 o limite é -3, e se m=2 é -2. Logo o limite não existe.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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