Mostre que os limites abaixo não existem usando a regra dos dois caminhos:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2 y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}
não existe usando a regra dos dois caminhos. O conteúdo envolvido é entender que, se ao aproximar (x,y) de (0,0) por duas curvas diferentes a função tiver limites distintos, o limite total não existe.

Passo 2

Considere a reta y=0. Substituindo em f(x,y)=\frac{2x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} temos
f(x,0)=\frac{2x^{2}-0}{x^{2}+0}=\frac{2x^{2}}{x^{2}}=2.
Logo,
\lim_{x\to0}f(x,0)=2.

Passo 3

Agora considere a reta x=0. Substituindo em f(x,y) obtemos
f(0,y)=\frac{2\cdot0 - y^{2}}{0 + 2y^{2}}=\frac{-y^{2}}{2y^{2}}=-\frac12.
Portanto,
\lim_{y\to0}f(0,y)=-\tfrac12.

Passo 4

Como ao longo de y=0 o limite é 2 e ao longo de x=0 o limite é -\tfrac12, esses valores são diferentes. Assim, pelo critério dos dois caminhos, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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