Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(b) ( ) Uma sequencia limitada é convergente;
(b) ( ) Uma sequencia limitada é convergente;
Passo 1
Estamos analisando a afirmação “Uma sequência limitada é convergente”. O conteúdo aqui é sequências numéricas, definirmos sequência limitada e convergência e veremos se uma implica a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições. Dizemos que uma sequência $ (x_n) $ é limitada se existir um real
tal que
para todo
. Dizemos que
converge para
se, para todo
, existir
tal que
sempre que
.
Passo 3
A convergência de uma sequência implica que ela é limitada, mas o recíproco não vale em geral. Para ver isso, basta um contraexemplo clássico: considere a sequência
dada por
Observamos que para todo
vale
, ou seja,
é limitada. No entanto,
não converge, pois os termos oscilam entre
e
sem se aproximarem de um único limite.
Passo 4
Portanto, a afirmação “uma sequência limitada é convergente” é falsa, pois existe ao menos uma sequência limitada que não converge.
Resposta
Falsa.