Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(b) ( ) Uma sequencia limitada é convergente;

Passo 1

Estamos analisando a afirmação “Uma sequência limitada é convergente”. O conteúdo aqui é sequências numéricas, definirmos sequência limitada e convergência e veremos se uma implica a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições. Dizemos que uma sequência $ (x_n) $ é limitada se existir um real (xn) tal que M>0 para todo |xn|<= M. Dizemos que n converge para (xn) se, para todo L, existir varepsilon>0 tal que N sempre que |xn-L|.

Passo 3

A convergência de uma sequência implica que ela é limitada, mas o recíproco não vale em geral. Para ver isso, basta um contraexemplo clássico: considere a sequência (xn) dada por
xn = (-1)^n
Observamos que para todo n vale |xn| = 1, ou seja, (xn) é limitada. No entanto, (xn) não converge, pois os termos oscilam entre 1 e -1 sem se aproximarem de um único limite.

Passo 4

Portanto, a afirmação “uma sequência limitada é convergente” é falsa, pois existe ao menos uma sequência limitada que não converge.

Resposta

Falsa.

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