Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
Se u perp v e v perp w então u perp w.

Passo 1

O enunciado afirma que, em um espaço vetorial real com produto escalar, se uperpv e vperpw então uperpw. Aqui o conteúdo é ortogonalidade de vetores via produto escalar, e vamos usar a definição
aperpbiff acdotb=0.

Passo 2

Para que a afirmação fosse verdadeira, o produto escalar deveria ser “transitivo” no sentido de que zeros em dois pares forçassem zero no terceiro, mas isso não vale em geral. Basta encontrar três vetores em R^3 que falhem nessa transição para mostrar que a afirmação é falsa.

Passo 3

Considere
u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,0,1)
Então
ucdotv =1cdot0+0cdot1+0cdot0 =0, vcdotw =0cdot1+1cdot0+0cdot1 =0,
mas
ucdotw =1cdot1+0cdot0+0cdot1 =1neq0
Logo uperpv e vperpw ocorrem, mas unotperpw.

Resposta

A afirmação é falsa, como mostra o contra-exemplo acima.

Exercícios relacionados