Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
Se
e
então
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, em um espaço vetorial real com produto escalar, se
e
então
. Aqui o conteúdo é ortogonalidade de vetores via produto escalar, e vamos usar a definição
.
Passo 2
Para que a afirmação fosse verdadeira, o produto escalar deveria ser “transitivo” no sentido de que zeros em dois pares forçassem zero no terceiro, mas isso não vale em geral. Basta encontrar três vetores em
que falhem nessa transição para mostrar que a afirmação é falsa.
Passo 3
Considere
Então
Então
mas
Logo
e
ocorrem, mas
.
Resposta
A afirmação é falsa, como mostra o contra-exemplo acima.