Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Para aquelas qu são verdadeiras, justifique em no máximo 3 linhas. Para aquelas que são falsas dê um contr
(a) Todo espaço vetorial não vazio de dimensão finita com produto interno possui uma bases exemplo. ortonormal;
(b) Todo produto interno provém uma norma.
(a) Todo espaço vetorial não vazio de dimensão finita com produto interno possui uma bases exemplo. ortonormal;
(b) Todo produto interno provém uma norma.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, sendo (a) sobre existência de base ortonormal em espaços com produto interno de dimensão finita e (b) sobre norma gerada por um produto interno.
Passo 2
Afirmativa (a): Pelo processo de Gram–Schmidt, em qualquer espaço vetorial de dimensão finita com produto interno podemos ortonormalizar uma base geradora e obter uma base ortonormal. Logo, é verdadeira.
Passo 3
Afirmativa (b): Dado um produto interno
, basta definir
que cumpre positividade, homogeneidade e desigualdade triangular. Logo, é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(b) Verdadeira.