Questão 2 (1,0 ponto): Resolva o PVI:
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial:
com
.
Trata-se de uma equação de primeira ordem, separável, exceto nos pontos e
.
Trata-se de uma equação de primeira ordem, separável, exceto nos pontos
Passo 2
Isolamos
e separamos variáveis.
Multiplicando por
, obtemos
Repare que para usar essa separação precisamos
e
. A condição
é um ponto singular, então o teorema clássico de existência e unicidade não se aplica, mas podemos prosseguir integrando implicitamente.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo:
No lado direito:
Logo
Passo 4
Usamos
para determinar
. Substituindo
,
:
Passo 5
Substituindo
na solução implícita:
Multiplicando por
para simplificar:
Essa é a forma implícita da solução que satisfaz a condição inicial (com inclinação vertical em
,
).