Questão 2 (1,0 ponto): Resolva o PVI:
(y-2) y^{\prime}-\frac{x^{2}+x}{y}=0, \text { com } y(1)=0 .

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial:
(y-2)\,y' - \frac{x^{2}+x}{y} = 0,
com y(1)=0.
Trata-se de uma equação de primeira ordem, separável, exceto nos pontos y=0 e y=2.

Passo 2

Isolamos y' e separamos variáveis.
y' = \frac{x^{2}+x}{y\,(y-2)}.
Multiplicando por y(y-2)\,dx, obtemos
y(y-2)\,dy = (x^{2}+x)\,dx.
Repare que para usar essa separação precisamos y\neq0 e y\neq2. A condição y(1)=0 é um ponto singular, então o teorema clássico de existência e unicidade não se aplica, mas podemos prosseguir integrando implicitamente.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y(y-2)\,dy = \int (x^{2}+x)\,dx.
No lado esquerdo:
\int (y^{2}-2y)\,dy = \frac{y^{3}}{3}-y^{2}.
No lado direito:
\int (x^{2}+x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C.
Logo
\frac{y^{3}}{3}-y^{2} = \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 4

Usamos y(1)=0 para determinar C. Substituindo x=1, y=0:
0-0 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{1}{3}-\frac{1}{2} = -\frac{5}{6}.

Passo 5

Substituindo C=-\tfrac{5}{6} na solução implícita:
\frac{y^{3}}{3}-y^{2} = \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-\frac{5}{6}.
Multiplicando por 6 para simplificar:
2y^{3}-6y^{2} = 2x^{3}+3x^{2}-5.
Essa é a forma implícita da solução que satisfaz a condição inicial (com inclinação vertical em x=1, y=0).

Resposta

\frac{y^{3}}{3}-y^{2} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{6}.

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