Questão 4 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Resolva as EDO’s lineares de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes:
(b) y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+9 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 9y = 0.
O método consiste em assumir uma solução do tipo y=e^{rx} e montar a equação característica.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} na equação, obtemos a equação característica
r^2 - 4r + 9 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot9 = 16 - 36 = -20,
que é negativo, indicando raízes complexas.

Passo 4

As raízes são
r = \frac{4 \pm \sqrt{-20}}{2} = 2 \pm i\sqrt{5}.
Para raízes da forma r = \alpha \pm i\beta, a solução geral é
y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr).
Aqui \alpha=2 e \beta=\sqrt{5}.

Resposta

y(x)=e^{2x}\bigl(C_1\cos(\sqrt{5}\,x)+C_2\sin(\sqrt{5}\,x)\bigr).

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