Verifique se as relações abaixo são produtos internos em \mathbb{R}^{2}. Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}-x_{1} y_{2}-y_{1} y_{2}-y_{1} x_{2};

Passo 1

O enunciado define \langle(x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle = x_1x_2 - x_1y_2 - y_1y_2 - y_1x_2 em \mathbb{R}^2 e pede verificar se isso é produto interno (bilinear, simétrico e positivo definido).

Passo 2

Checamos simetria e bilinearidade: a forma é bilinear por linearidade em cada argumento e satisfaz \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle por simples troca de fatores.

Passo 3

Para positividade, note que
\langle(0,1),(0,1)\rangle = 0\cdot0 - 0\cdot1 - 1\cdot1 - 1\cdot0 = -1 < 0,
logo não é positiva definida.

Resposta

A relação não é produto interno, pois falha a condição de positividade.

Exercícios relacionados